Wahrscheinlichkeitstheorie Prüfungsvorbereitung

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Wahrscheinlichkeitsmass und Wahrscheinlichkeitsraum

Definition 1.1

Sei \Omega\, eine nicht leere Menge. Sie \mathcal{A} \, ein System von Teilmengen von \Omega \,(d.h. \mathcal{A} \subseteq P(\Omega)\,).

\mathcal{A} \, heisst \sigma \,-Algebra (\sigma \, Field) falls gilt

  1. \Omega \in \mathcal A \,
  2. A \in \mathcal A \rightarrow A^c \in \mathcal A \,
  3. Ist A_i \in \mathcal A \, für i \in \mathbb N \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb N} A_i \in \mathcal A \,

(Abzählbare Vereinigungsbildung für nicht aus der Menge) TODO Satz passt nicht?!

Gilt statt 3 nur 3' ist A \in \mathcal A, B \in \mathcal A \rightarrow  A \cup B \in \mathcal A\,, dann heisst  \mathcal A \, Algebra auf  \Omega\,.

Definition 1.2

Sei  \Omega \, eine nicht leere Menge und  \mathcal A \, eine \sigma\,-Algebra auf  \Omega \,. Sei  P:\mathcal A \rightarrow \mathbb R \, eine Abbildung.  P  \, heisst Wahrscheinlichkeitsmass auf  (\Omega, \mathcal A) \, falls

  1.  P(\Omega) = 1 \,
  2.  P(A) \ge 0 \, für alle  A \in \mathcal A \,
  3. Sind  A_i \in \mathcal A, i \in \mathbb N  \, und sind  A_i \, paarweise disjunkt dann  P(\bigcup_{i \in \mathbb N} A_i) = \sum_{i \in \mathbb N} P(A_i) \, (" \sigma \,-Additivität")

 (\Omega, \mathcal A, P)  \, heisst Wahrscheinlichkeitsraum.

Satz 1.1

Sei  \Omega \, eine nicht leere Menge und  \mathcal M \subseteq P(\Omega) \,. Dann gibt es eine kleinste \sigma\,-Algebra, welche  \mathcal M \, umfasst. Für die schreiben wir  \sigma(\mathcal M) \,.  \sigma(\mathcal M) \, heisst die von  \mathcal M \, erzeugte \sigma\,-Algebra.

(D.h. die kleinste \sigma\,-Algebra heisst TODO Satz komisch Ist  A \supseteq \mathcal M \, und ist  \mathcal A \, eine \sigma\,-Algebra, so ist  \sigma(M) \subseteq \mathcal A_i \,)

Theorem 1.2

Sei  (\Omega, \mathcal A, P)\, ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dann gilt

  1.  P(\varnothing) = 0 \,
  2.  A, B \in \mathcal A, A \subseteq B \Rightarrow P(A) \le P(B) \, (Monotonie von P)
  3.  A \in \mathcal A \Rightarrow P(A) \le 1\,
  4.  A \in \mathcal A \Rightarrow P(A^C) = 1 - P(A)\,
  5.  A_i \in \mathcal A, i = 1, \ldots, n \, und paarweise disjunkt  \Rightarrow P(\bigcup_{i=1}^n A_i) = \sum_{i=1}^n A_i \, (endlich Additivität von P)
  6.  A \in \mathcal A, i \in \{1,2,\ldots\} \Rightarrow P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) \le \sum_{i=1}^{\infty} A_i\, (Sub Additivität)
    Gilt genauso für endliche Vereinigungen: P(\bigcup_{i=1}^n A_i) \le \sum_{i=1}^n A_i \,
    Beachte:  A_i\, müssen nicht paarweise disjunkt sein.
  7.  A, B \in \mathcal A \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\,

Theorem 1.3

Sei  (\Omega, \mathcal A, P)\, ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dann gilt

  1.  A_n \in \mathcal A \, und  A_n \subseteq A_{n+1}\, für alle  n\,.
    Setze  A = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\,

     P(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} P(A_n)\,

    genauer  P(A_n) \nearrow P(A)\,. (Stetigkeit von unten -- monoton wachsend von unten)
  2.  A_n \in \mathcal A, A_n \supseteq A_{n+1}\, für alle  n\,.
     \Rightarrow P(A_n) \searrow P(A)\, wobei  A = \bigcap_{n=1}^\infty A_n\,
    (Stetigkeit von oben)


Das Lebesguemaß auf  (0, 1]\, der Gleichverteilung auf  (0, 1]\,

Sei  \Omega = (0,1], J \, das System aller Intervalle der Form  (a, b] \subseteq (0, 1]\,. Auf  J\, haben wir  P((a,b]) = b - a \qquad (P: J \rightarrow \mathbb R\,)

Sei  J^\star\, das System aller Mengen A \subseteq \Omega die sich als endliche, paarweise disjunkte Vereinigung von Elementen aus  J\, schreiben lassen:

A \in J^\star\ \Leftrightarrow \exists \ n \in \mathbb{N}

A=\bigcup_{i=1}^n (a_i,b_i], \qquad (a_i,b_i]\cap(a_j,b_j]=\emptyset, i\neq j

 J^\star\ ist eine Algebra auf \Omega\,

Lemma 1.4

Sei  (a, b] \, Interval in  \mathbb R\, ( a, b muss nicht  (0,1]\,) und  (a, b] \supseteq \bigcup_{i \in I} (a_i, b_i], I \, endlich oder abzählbar unendlich.

 (a_i, b_i]  \, paarweise disjunkt!

(möglicherweise mit Lücken zwischen den Intervallen)

 b - a \ge \sum_{i \in I} (b_i - a_i)\,

( \ge weil  A_i \, nicht zusammenhängend)

Lemma 1.5

Sei  (a, b] \, Intervalle in  \mathbb R \, und  (a, b] \subseteq \bigcup_{i \in I} (a_i, b_i], I  \, endlich und abzählbar unendlich. (Kommentar: keine Lücken!)

Dann gilt:  b - a \le \sum_{i \in I} (b_i - a_i) \,

Satz von Caratheodory

Sei  \Omega \, eine beliebige, nicht leere Menge und sei  \mathcal G \, eine Algebra auf  \Omega \,. Sei  P \, eine reellwertige Mengenfunktion auf  \mathcal G (G \in \mathcal G, \R) \, mit folgenden Eigenschaften

 P(\Omega) = 1 \,

 P(G) \ge 0 \, für alle  G \in \mathcal G \,

 P(\bigcup_{i \in I} G_i) = \sum_{i \in I} P(G_i)\, falls  I \, abzählbar unendlich und  G_i \in \mathcal G, G_i \, paarweise disjunkt und  \bigcup_{i \in I} G_i \in \mathcal G \,

Dann gibt es genau ein W-Maß  \bar P \, auf  \sigma(\mathcal G) \, mit  \bar P(G) = P(G) \, für alle  G \in \mathcal G \,

Sind  \bar P  \, und  \bar \bar P \, zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf  \sigma(\mathcal G ) \, mit  \bar P(G) = P(G) = \bar \bar P (G) \, für  G \in \mathcal G \Rightarrow \bar P(F) = \bar \bar P(F) \, für alle  F \in \sigma(\mathcal G ) \,

Satz 1.6

Sei  \Omega = (0,1] \, und sei  \mathcal B ((0,1]) \, die von  \mathcal J^\star  \, erzeugte  \sigma  \,-Algebra. (d.h.  \mathcal B ((0,1]) = \sigma(\mathcal J^\star )  \,. Dann gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß  \lambda \, auf  \mathbb B ((0,1]) \, mit der Eigenschaft

 \lambda ((a,b]) = b - a\, für alle  (a,b] \subseteq \Omega \,

(Diese Maß  \lambda \, heißt Lebesque-Maß auf  (0,1] \, und  \mathcal B ((0,1]) \, heißt  \sigma \,-Algebra der Borel Menge von  (0,1] \,.)

Definition

 \mathcal B(\R) = \sigma(J^\star_\R) \,

 \mathcal B(\R) \, heißt Borel  \sigma \,-Algebra auf  \R \,

Lemma 1.7

 \mathcal B(\R) = \sigma(\mathcal I) \, wobei  \mathcal I = \{ (-\infty, x]: x \in \R \} \,

Satz 1.9

Sei  F:\R \rightarrow \R \, und erfülle Eigenschaften 1-4 aus Satz 1.8 erfüllt. Dann gibt es genau ein W-Maß  \mu \, auf  (\R, \mathcal B(\R)) \, mit den Eigenschaften  \mu ((-\infty, x]) = F(x) \, für alle  x \in \R \,

Lemma 1.10

Sei  F:\R \rightarrow \R \, und erfülle Eigenschaften 1-3.

Dann lässt sich  F \, schreiben als  F = c_1 F_1 + c_2 F_2 \,

wobei  c_1, c_2 \ge 0, c_1 + c_2 = 1, F_1, F_2 \, erfüllen die Eigenschaften 1-3.

 F_1 \, stetig und  F_2 \, hat die Form  F_2(x) = \sum_{i=1}^\infty \alpha_i 1_{[z_i,\infty)}(x) \, wobei  z_i \in \R, \alpha_i \ge 0, \sum_{i=1}^\infty \alpha_i = 1 \,

Lemma 1.11

Sei  \Omega \, eine beliebige nicht leere Menge und  \Omega_0 \subseteq \Omega, \Omega_0 \ne \varnothing \,

Sei  \mathcal A  \, eine  \sigma \,-Algebra auf  \Omega \,. 

 \mathcal A_0 = \{ A \cap \Omega_0 : A \in \Omega \} \ \, 

Dann ist  \mathcal A_0 \, eine  \sigma \,-Algebra auf  \Omega_0 \,
Sei  \mathcal G \subseteq \mathcal A  \, ein Erzeugersystem von  \mathcal A  \,

 \mathcal{G}_0 = \{ A \cap \Omega_0 : A \in \Omega \} \,

Dann ist  \mathcal{G}_0 \, ein Erzeugersystem für  \mathcal A_0 \,

Messbare Abbildungen und Zufallsvariablen

Korollar 2.1

 \mathcal B ((0,1]) = \{ B \cap (0,1] : B \in \mathcal B(\R) \} \,

Satz 2.1

 (\Omega, \mathcal A), (\Omega', \mathcal A') \, Mssräume.  \mathcal F' \subseteq \mathcal A' \, erzeugte  \mathcal A' \,, d.h.  \sigma(\mathcal F') = \mathcal A' \, gilt:

 T^{-1}(F') \in \mathcal A  \, für alle  F' \in \mathcal F' \,, so ist  T \,  \mathcal A-\mathcal A' \, messbar

Definition 2.1

Seien  (\Omega, \mathcal A) \, und  (\Omega', \mathcal A') \, Messräume. Eine Abbildung  T: \Omega \rightarrow \Omega' \, heißt  \mathcal A-\mathcal A' \,-messbar, falls gilt

für alle A' \in \mathcal A'  \,  T^{-1} (A') = \{ \omega \in \Omega | T(\omega) \in A' \} \in \mathcal A  \,

speziell  \Omega' = \R, \mathcal A'=\mathcal B(\R) \, eine  \mathcal A-\mathcal B(\R) \, messbare Abbildung heißt auch Zufallsvariable.

Korollar 2.2

Sei  (\Omega, \mathcal A) \, ein Meßraum

 T: \Omega \rightarrow \R \,,  T  \, ist  \mathcal A-\mathcal B(\R) \, meßbar  \iff \,  T^{-1}((-\infty, b]) \in \mathcal A  \, für jedes  b \in \R \,

Satz 2.3

Sei  T: \R \rightarrow \R \, stetig.

Dann ist  T \,  \mathcal B(\R)-\mathcal B(\R) \,-meßbar

Definition (lim inf, lim sup)

Sei  x_n \, eine Folge in  \bar{\R} \,. Betrachte  \{ x \in \bar{\R} | \exists x_{n_k} \text{ Teilfolge von } x_n, \text{ s.d. } x_{n_k} \rightarrow x \} \,

Definiere  \lim_{n \rightarrow \infty} \sup x_n := \sup A, \lim_{n \rightarrow \infty} \inf x_n := \inf A \,

Lemma

Sei  x_n \, eine monoton nicht fallende Folge in  \R \,.

Dann haben wir  \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \sup_{n \ge 1} x_n \,

Satz 2.5

Sei  (\Omega, \mathcal A) \, ein Meßraum und sei  T_i : \Omega \rightarrow \R, i=1,2\, Funktionen welche  \mathcal A-\mathcal B(\R) \, meßbar sind

 \lambda T_i  \, ist  \mathcal A-\mathcal B(\R) \, meßbar  \forall \lambda \in \R \,
 T_1 + T_2 \, ist  \mathcal A-\mathcal B(\R) \, meßbar  \forall \lambda \in \R \,
 T_1 \cdot T_2 \, ist  \mathcal A-\mathcal B(\R) \, meßbar  \forall \lambda \in \R \,
 T_1 / T_2 \, ist  \mathcal A-\mathcal B(\R) \, meßbar  \forall \lambda \in \R \,, falls  T_2(\omega) \ne 0 \, für alle  \omega \in \Omega \,

Lemma 2.5 (a)

Seien  (\Omega, \mathcal A) \, und  (\Omega', \mathcal A') \, Meßräume. Seine  A_i, i \in \N, \, paarweise disjunkt.  A_i \ne \varnothing, A_i \in \mathcal A, \bigcup_{i \in \N} A_i = \Omega \,

Seien  T_i : A_i \rightarrow \Omega' \, Abbildungen, welche  \mathcal A_{A_i}-\mathcal A' \,-meßbar sind für  i \in \N \,

Definiere  T: \Omega \rightarrow \Omega' \, vermittels  T(\omega) = T_i(\omega) \, falls  \omega \in A_i \,. Dann ist  T \, wohldefiniert und ist  \mathcal A-\mathcal A' \,-meßbar

Lemma 2.5 (b)

 \mathcal B(\bar{\R}) \, wird erzeugt von  \mathcal B(\R) \, zusammen mit den Mengen  \{-\infty\}, \{\infty\} \, (d.h.  \mathcal F = \mathcal B(\R) \cup \{\{-\infty\}\}, \{\{\infty\}\} \, ist Erzeugersystem für  \mathcal B (\R) \,
 \mathcal B(\bar{\R}) \, wird erzeugt von Intervallen  (-\infty, b], b \in \R, \, zusammen mit  \{-\infty\}, \{\infty\} \,
Spur  \sigma- \,Algebra von  \mathcal B(\bar{\R})  \, in  \R \, ist  \mathcal B(\R)  \,

Lemma 2.6

Sei  (\Omega, \mathcal A) \, ein Meßraum und  T:\Omega \rightarrow \bar{\R}  \, eine Funktion.

 T \, ist  \mathcal A-\mathcal B(\bar{\R}) \, meßbar  \iff\,

 T^{-1}(B) \in \mathcal A  \, für alle  B \in \mathcal B (\R) \, und

 T^{-1}(-\infty) \in \mathcal A  \,

 T^{-1}(\infty) \in \mathcal A  \, 
 T \, ist  \mathcal A-\mathcal B(\bar{\R}) \, meßbar  \iff\,

 \Omega^\star = \{ \omega  \in \Omega : |T(\omega)| < \infty \} \in \mathcal A \,

 T^{-1}(-\infty) \in \mathcal A  \,

 T^{-1}(\infty) \in \mathcal A  \,

 T_{|\Omega^\star} : \Omega^\star \rightarrow \R \, ist meßbar bzgl.  \mathcal A_{\Omega^\star}  \, und  \mathcal B(\R) \,

Satz 2.7

Sei  (\Omega, \mathcal A) \, ein Meßraum und seien  T_n:\Omega \rightarrow \bar{\R} \, Abbildungen, welche  \mathcal A-\mathcal B (\bar{\R}) \, meßbar sind.

Dann gilt: 

 \sup_{n \in \N} T_n, \inf_{n \in \N} T_n, \lim_{n \rightarrow \N} \sup T_n, \lim_{n \rightarrow \N} \inf T_n, \, sind  \mathcal A-\mathcal B(\bar{\R}) \, meßbar.

 A = \{\omega \in \Omega: \lim_{n \rightarrow \infty} T_n(\omega) \text{ existiert in } \bar{\R} \} \in \mathcal A \,

Falls  \lim_{n \rightarrow \infty} T_n(\omega) \, für alle  \omega \in \Omega \, existiert (als limes in  \bar{\R} \,) so ist  \lim_{n \rightarrow \infty} T_n(\omega) \, eine  \mathcal A-\mathcal B(\bar{\R}) \, meßbare Abbildung.

Satz 2.8

Sei  \Omega, \mathcal A ) \, ein Meßraum und sei  T:\Omega \rightarrow \bar{\R} \, eine  \mathcal A-\mathcal B (\bar{\R}) \, meßbare Abbildung.

Dann gibt es eine Folge  T_n \, von einfachen mebaren Funktionen mit

 T_n(\omega) \uparrow T(\omega) \, falls  T(\omega) \ge 0 \,

 T_n(\omega) \downarrow T(\omega) \, falls  T(\omega) \le 0 \,

Satz 2.9

Sei  (\Omega, \mathcal A , P) \, ein W-Raum und sei  \Omega', \mathcal A ') \, ein Meßraum. Sei  T: \Omega \rightarrow \Omega'\, eine  \mathcal A-\mathcal A'- \, Meßbare Abbildung. Für  A' \in \mathcal A' \, setze   P'(A') = P(T^{-1}(A')) \,

Dann ist  P'(A')  \, ein W-Maß auf  (\Omega',\mathcal A') \,.   P' \, heißt Bildmaß von  P \, unter  T \,.  

Man schreibt  P'=P T^{-1} \, (d.h.  P T^{-1}) (A') := P(T^{-1}(A')) \,)