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Wahrscheinlichkeitsmass und Wahrscheinlichkeitsraum

Definition 1.1

Sei $\Omega\,$ eine nicht leere Menge. Sie $\mathcal{A} \,$ ein System von Teilmengen von $\Omega \,$ (d.h. $\mathcal{A} \subseteq P(\Omega)\,$ ).

$\mathcal{A} \,$ heisst $\sigma \,$ -Algebra ( $\sigma \,$ Field) falls gilt

$\Omega \in \mathcal A \,$
$A \in \mathcal A \rightarrow A^c \in \mathcal A \,$
Ist $A_i \in \mathcal A \,$ für $i \in \mathbb N \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb N} A_i \in \mathcal A \,$

(Abzählbare Vereinigungsbildung für nicht aus der Menge) TODO Satz passt nicht?!

Gilt statt 3 nur 3' ist $A \in \mathcal A, B \in \mathcal A \rightarrow A \cup B \in \mathcal A\,$ , dann heisst $\mathcal A \,$ Algebra auf $\Omega\,$ .

Definition 1.2

Sei $\Omega \,$ eine nicht leere Menge und $\mathcal A \,$ eine $\sigma\,$ -Algebra auf $\Omega \,$ . Sei $P:\mathcal A \rightarrow \mathbb R \,$ eine Abbildung. $P \,$ heisst Wahrscheinlichkeitsmass auf $(\Omega, \mathcal A) \,$ falls

$P(\Omega) = 1 \,$
$P(A) \ge 0 \,$ für alle $A \in \mathcal A \,$
Sind $A_i \in \mathcal A, i \in \mathbb N \,$ und sind $A_i \,$ paarweise disjunkt dann $P(\bigcup_{i \in \mathbb N} A_i) = \sum_{i \in \mathbb N} P(A_i) \,$ (" $\sigma \,$ -Additivität")

$(\Omega, \mathcal A, P) \,$ heisst Wahrscheinlichkeitsraum.

Satz 1.1

Sei $\Omega \,$ eine nicht leere Menge und $\mathcal M \subseteq P(\Omega) \,$ . Dann gibt es eine kleinste $\sigma\,$ -Algebra, welche $\mathcal M \,$ umfasst. Für die schreiben wir $\sigma(\mathcal M) \,$ . $\sigma(\mathcal M) \,$ heisst die von $\mathcal M \,$ erzeugte $\sigma\,$ -Algebra.

(D.h. die kleinste $\sigma\,$ -Algebra heisst TODO Satz komisch Ist $A \supseteq \mathcal M \,$ und ist $\mathcal A \,$ eine $\sigma\,$ -Algebra, so ist $\sigma(M) \subseteq \mathcal A_i \,$ )

Theorem 1.2

Sei $(\Omega, \mathcal A, P)\,$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dann gilt

$P(\varnothing) = 0 \,$
$A, B \in \mathcal A, A \subseteq B \Rightarrow P(A) \le P(B) \,$ (Monotonie von P)
$A \in \mathcal A \Rightarrow P(A) \le 1\,$
$A \in \mathcal A \Rightarrow P(A^C) = 1 - P(A)\,$
$A_i \in \mathcal A, i = 1, \ldots, n \,$ und paarweise disjunkt $\Rightarrow P(\bigcup_{i=1}^n A_i) = \sum_{i=1}^n A_i \,$ (endlich Additivität von P)
$A \in \mathcal A, i \in \{1,2,\ldots\} \Rightarrow P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) \le \sum_{i=1}^{\infty} A_i\,$ (Sub Additivität)
Gilt genauso für endliche Vereinigungen: $P(\bigcup_{i=1}^n A_i) \le \sum_{i=1}^n A_i \,$
Beachte: $A_i\,$ müssen nicht paarweise disjunkt sein.
$A, B \in \mathcal A \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\,$

Theorem 1.3

Sei $(\Omega, \mathcal A, P)\,$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dann gilt

$A_n \in \mathcal A \,$ und $A_n \subseteq A_{n+1}\,$ für alle $n\,$ .
Setze $A = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\,$

$P(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} P(A_n)\,$

genauer $P(A_n) \nearrow P(A)\,$ . (Stetigkeit von unten -- monoton wachsend von unten)
$A_n \in \mathcal A, A_n \supseteq A_{n+1}\,$ für alle $n\,$ .
$\Rightarrow P(A_n) \searrow P(A)\,$ wobei $A = \bigcap_{n=1}^\infty A_n\,$
(Stetigkeit von oben)

Das Lebesguemaß auf $(0, 1]\,$ der Gleichverteilung auf $(0, 1]\,$

Sei $\Omega = (0,1], J \,$ das System aller Intervalle der Form $(a, b] \subseteq (0, 1]\,$ . Auf $J\,$ haben wir $P((a,b]) = b - a \qquad (P: J \rightarrow \mathbb R\,$ )

Sei $J^\star\,$ das System aller Mengen $A \subseteq \Omega$ die sich als endliche, paarweise disjunkte Vereinigung von Elementen aus $J\,$ schreiben lassen:

$A \in J^\star\ \Leftrightarrow \exists \ n \in \mathbb{N}$

$A=\bigcup_{i=1}^n (a_i,b_i], \qquad (a_i,b_i]\cap(a_j,b_j]=\emptyset, i\neq j$

$J^\star\$ ist eine Algebra auf $\Omega\,$

Lemma 1.4

Sei $(a, b] \,$ Interval in $\mathbb R\,$ ( a, b muss nicht $(0,1]\,$ ) und $(a, b] \supseteq \bigcup_{i \in I} (a_i, b_i], I \,$ endlich oder abzählbar unendlich.

$(a_i, b_i] \,$ paarweise disjunkt!

(möglicherweise mit Lücken zwischen den Intervallen)

$b - a \ge \sum_{i \in I} (b_i - a_i)\,$

( $\ge$ weil $A_i \,$ nicht zusammenhängend)

Lemma 1.5

Sei $(a, b] \,$ Intervalle in $\mathbb R \,$ und $(a, b] \subseteq \bigcup_{i \in I} (a_i, b_i], I \,$ endlich und abzählbar unendlich. (Kommentar: keine Lücken!)

Dann gilt:

Satz von Caratheodory

Sei $\Omega \,$ eine beliebige, nicht leere Menge und sei $\mathcal G \,$ eine Algebra auf $\Omega \,$ . Sei $P \,$ eine reellwertige Mengenfunktion auf $\mathcal G (G \in \mathcal G, \R) \,$ mit folgenden Eigenschaften

$P(\Omega) = 1 \,$

$P(G) \ge 0 \,$ für alle $G \in \mathcal G \,$

$P(\bigcup_{i \in I} G_i) = \sum_{i \in I} P(G_i)\,$ falls $I \,$ abzählbar unendlich und $G_i \in \mathcal G, G_i \,$ paarweise disjunkt und $\bigcup_{i \in I} G_i \in \mathcal G \,$

Dann gibt es genau ein W-Maß  auf  mit  für alle

Sind $\bar P \,$ und $\bar \bar P \,$ zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf $\sigma(\mathcal G ) \,$ mit $\bar P(G) = P(G) = \bar \bar P (G) \,$ für $G \in \mathcal G \Rightarrow \bar P(F) = \bar \bar P(F) \,$ für alle $F \in \sigma(\mathcal G ) \,$

Satz 1.6

Sei $\Omega = (0,1] \,$ und sei $\mathcal B ((0,1]) \,$ die von $\mathcal J^\star \,$ erzeugte $\sigma \,$ -Algebra. (d.h. $\mathcal B ((0,1]) = \sigma(\mathcal J^\star ) \,$ . Dann gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\lambda \,$ auf $\mathbb B ((0,1]) \,$ mit der Eigenschaft

$\lambda ((a,b]) = b - a\,$ für alle $(a,b] \subseteq \Omega \,$

(Diese Maß $\lambda \,$ heißt Lebesque-Maß auf $(0,1] \,$ und $\mathcal B ((0,1]) \,$ heißt $\sigma \,$ -Algebra der Borel Menge von $(0,1] \,$ .)

Definition

$\mathcal B(\R) = \sigma(J^\star_\R) \,$

$\mathcal B(\R) \,$ heißt Borel $\sigma \,$ -Algebra auf $\R \,$

Lemma 1.7

$\mathcal B(\R) = \sigma(\mathcal I) \,$ wobei $\mathcal I = \{ (-\infty, x]: x \in \R \} \,$

Satz 1.9

Sei $F:\R \rightarrow \R \,$ und erfülle Eigenschaften 1-4 aus Satz 1.8 erfüllt. Dann gibt es genau ein W-Maß $\mu \,$ auf $(\R, \mathcal B(\R)) \,$ mit den Eigenschaften $\mu ((-\infty, x]) = F(x) \,$ für alle $x \in \R \,$

Lemma 1.10

Sei $F:\R \rightarrow \R \,$ und erfülle Eigenschaften 1-3.

Dann lässt sich  schreiben als

wobei $c_1, c_2 \ge 0, c_1 + c_2 = 1, F_1, F_2 \,$ erfüllen die Eigenschaften 1-3.

$F_1 \,$ stetig und $F_2 \,$ hat die Form $F_2(x) = \sum_{i=1}^\infty \alpha_i 1_{[z_i,\infty)}(x) \,$ wobei $z_i \in \R, \alpha_i \ge 0, \sum_{i=1}^\infty \alpha_i = 1 \,$

Lemma 1.11

Sei $\Omega \,$ eine beliebige nicht leere Menge und $\Omega_0 \subseteq \Omega, \Omega_0 \ne \varnothing \,$

Sei  eine -Algebra auf . 

 

Dann ist  eine -Algebra auf

Sei  ein Erzeugersystem von 



Dann ist  ein Erzeugersystem für

Messbare Abbildungen und Zufallsvariablen

Korollar 2.1

$\mathcal B ((0,1]) = \{ B \cap (0,1] : B \in \mathcal B(\R) \} \,$

Satz 2.1

$(\Omega, \mathcal A), (\Omega', \mathcal A') \,$ Mssräume. $\mathcal F' \subseteq \mathcal A' \,$ erzeugte $\mathcal A' \,$ , d.h. $\sigma(\mathcal F') = \mathcal A' \,$ gilt:

 für alle , so ist   messbar

Definition 2.1

Seien $(\Omega, \mathcal A) \,$ und $(\Omega', \mathcal A') \,$ Messräume. Eine Abbildung $T: \Omega \rightarrow \Omega' \,$ heißt $\mathcal A-\mathcal A' \,$ -messbar, falls gilt

für alle

speziell $\Omega' = \R, \mathcal A'=\mathcal B(\R) \,$ eine $\mathcal A-\mathcal B(\R) \,$ messbare Abbildung heißt auch Zufallsvariable.

Korollar 2.2

Sei $(\Omega, \mathcal A) \,$ ein Meßraum

,  ist  meßbar   für jedes

Satz 2.3

Sei $T: \R \rightarrow \R \,$ stetig.

Dann ist  -meßbar

Definition (lim inf, lim sup)

Sei $x_n \,$ eine Folge in $\bar{\R} \,$ . Betrachte $\{ x \in \bar{\R} | \exists x_{n_k} \text{ Teilfolge von } x_n, \text{ s.d. } x_{n_k} \rightarrow x \} \,$

Definiere

Lemma

Sei $x_n \,$ eine monoton nicht fallende Folge in $\R \,$ .

Dann haben wir

Satz 2.5

Sei $(\Omega, \mathcal A) \,$ ein Meßraum und sei $T_i : \Omega \rightarrow \R, i=1,2\,$ Funktionen welche $\mathcal A-\mathcal B(\R) \,$ meßbar sind

 ist  meßbar

 ist  meßbar

 ist  meßbar

 ist  meßbar , falls  für alle

Lemma 2.5 (a)

Seien $(\Omega, \mathcal A) \,$ und $(\Omega', \mathcal A') \,$ Meßräume. Seine $A_i, i \in \N, \,$ paarweise disjunkt. $A_i \ne \varnothing, A_i \in \mathcal A, \bigcup_{i \in \N} A_i = \Omega \,$

Seien $T_i : A_i \rightarrow \Omega' \,$ Abbildungen, welche $\mathcal A_{A_i}-\mathcal A' \,$ -meßbar sind für $i \in \N \,$

Definiere $T: \Omega \rightarrow \Omega' \,$ vermittels $T(\omega) = T_i(\omega) \,$ falls $\omega \in A_i \,$ . Dann ist $T \,$ wohldefiniert und ist $\mathcal A-\mathcal A' \,$ -meßbar

Lemma 2.5 (b)

 wird erzeugt von  zusammen mit den Mengen  (d.h.  ist Erzeugersystem für

 wird erzeugt von Intervallen  zusammen mit

Spur Algebra von  in  ist

Lemma 2.6

Sei $(\Omega, \mathcal A) \,$ ein Meßraum und $T:\Omega \rightarrow \bar{\R} \,$ eine Funktion.

 ist  meßbar 

 für alle  und

 ist  meßbar 







 ist meßbar bzgl.  und

Satz 2.7

Sei $(\Omega, \mathcal A) \,$ ein Meßraum und seien $T_n:\Omega \rightarrow \bar{\R} \,$ Abbildungen, welche $\mathcal A-\mathcal B (\bar{\R}) \,$ meßbar sind.

Dann gilt: 

 sind  meßbar.



Falls  für alle  existiert (als limes in ) so ist  eine  meßbare Abbildung.

Satz 2.8

Sei $\Omega, \mathcal A ) \,$ ein Meßraum und sei $T:\Omega \rightarrow \bar{\R} \,$ eine $\mathcal A-\mathcal B (\bar{\R}) \,$ meßbare Abbildung.

Dann gibt es eine Folge  von einfachen mebaren Funktionen mit

 falls 

 falls

Satz 2.9

Sei $(\Omega, \mathcal A , P) \,$ ein W-Raum und sei $\Omega', \mathcal A ') \,$ ein Meßraum. Sei $T: \Omega \rightarrow \Omega'\,$ eine $\mathcal A-\mathcal A'- \,$ Meßbare Abbildung. Für $A' \in \mathcal A' \,$ setze $P'(A') = P(T^{-1}(A')) \,$

Dann ist  ein W-Maß auf .   heißt Bildmaß von  unter .  

Man schreibt  (d.h. )

Wahrscheinlichkeitstheorie Prüfungsvorbereitung

From StatWiki

Wahrscheinlichkeitsmass und Wahrscheinlichkeitsraum

Definition 1.1

Definition 1.2

Satz 1.1

Theorem 1.2

Theorem 1.3

Das Lebesguemaß auf $(0, 1]\,$ der Gleichverteilung auf $(0, 1]\,$

Lemma 1.4

Lemma 1.5

Satz von Caratheodory

Satz 1.6

Definition

Lemma 1.7

Satz 1.9

Lemma 1.10

Lemma 1.11

Messbare Abbildungen und Zufallsvariablen

Korollar 2.1

Satz 2.1

Definition 2.1

Korollar 2.2

Satz 2.3

Definition (lim inf, lim sup)

Lemma

Satz 2.5

Lemma 2.5 (a)

Lemma 2.5 (b)

Lemma 2.6

Satz 2.7

Satz 2.8

Satz 2.9

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Definition 1.1

Definition 1.2

Satz 1.1

Theorem 1.2

Theorem 1.3

Das Lebesguemaß auf der Gleichverteilung auf

Lemma 1.4

Lemma 1.5

Satz von Caratheodory

Satz 1.6

Definition

Lemma 1.7

Satz 1.9

Lemma 1.10

Lemma 1.11

Messbare Abbildungen und Zufallsvariablen

Korollar 2.1

Satz 2.1

Definition 2.1

Korollar 2.2

Satz 2.3

Definition (lim inf, lim sup)

Lemma

Satz 2.5

Lemma 2.5 (a)

Lemma 2.5 (b)

Lemma 2.6

Satz 2.7

Satz 2.8

Satz 2.9

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