From StatWiki

Frage 1

(a)

Definiere den Begriff $\sigma\,$ -Algebra.

(b)

Sei $\Omega \,$ eine nichtleere Menge und $\mathcal M \subseteq P(\Omega) \,$ . Definiere die von $\mathcal M \,$ erzeugt $\sigma\,$ -Algebra.

(c)

Es sei $\mathcal A \,$ eine $\sigma \,$ -Algebra auf $\Omega \ne \varnothing \,$ und $B \subseteq \Omega, B \ne \varnothing \,$ . Zeige, dass das Mengensystem

eine $\sigma \,$ -Algebra auf $B \,$ definiert.

(d)

Sei $\Omega \,$ eine nichtleere Menge und $A \subseteq \Omega, A \ne \varnothing A \ne \Omega \,$ . Ist

eine $\sigma \,$ -Algebra auf $\Omega \,$ ?

Frage 2

(a)

Sei $\Omega \,$ eine nichtleere Menge und sei $\mathcal A \,$ eine $\sigma \,$ -Algebra auf $\Omega \,$ . Sei $P:\Omega \Rightarrow \R \,$ eine Funktion. Welche Eigenschaften muss $P \,$ erfüllen, um ein W-Maß auf $(\Omega, \mathcal A ) \,$ zu sein?

(b)

Sei $(\Omega, \mathcal A, P) \,$ ein W-Raum. Beweise die folgenden Aussagen:

(i) $A_n \in \mathcal A, A_n \subseteq A_{n+1} \,$ für $n \ge 1 \Rightarrow P(A_n) \uparrow P(A), \,$ wobei $A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n\,$

(ii) $A_n \in \mathcal A, A_n \supseteq A_{n+1} \,$ für $n \ge 1 \Rightarrow P(A_n) \downarrow P(A), \,$ wobei $A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n\,$

(c)

Sei $(\R, \mathcal B(\R), \mu) \,$ ein W-Raum. Definiere die Verteilungsfunktion $F \,$ von $\mu \,$ und gib an, welche Eigenschaften diese hat. Zeige, dass $F \,$ rechtsseitig stetig ist.

(d)

Sei $\lambda \,$ das Lebesguemaß auf $(0,1] \,$ . Verfiziere die Behauptung

 für alle .

(e)

Zeige

Frage 3

(a)

Definiere den Begriff Zufallsvariable.

(b)

Sei $(\Omega, \mathcal A ) \,$ ein Messraum. Zeige

 ist -messbar

(c)

Seien $(\Omega, \mathcal A ) \,$ und $(\Omega', \mathcal A') \,$ Messräume. Sei $T: \Omega \rightarrow \Omega' \,$ eine $\mathcal A - \mathcal A' \,$ -messbare Abbildung. Sei $P \,$ ein W-Maß auf $(\Omega, \mathcal A) \,$ . Zeige, dass $P' \,$ , definiert durch