Wahrscheinlichkeitstheorie Midterm Test - 27.11.2007

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Frage 1

(a)

Definiere den Begriff  \sigma\,-Algebra.

(b)

Sei  \Omega \, eine nichtleere Menge und  \mathcal M \subseteq P(\Omega) \,. Definiere die von  \mathcal M \, erzeugt  \sigma\,-Algebra.

(c)

Es sei  \mathcal A  \, eine  \sigma \,-Algebra auf  \Omega \ne \varnothing \, und  B \subseteq \Omega, B \ne \varnothing \,. Zeige, dass das Mengensystem

 \mathcal{A}_B := \{ A \cap B : A \in \mathcal A \} \,

eine  \sigma \,-Algebra auf  B  \, definiert.

(d)

Sei  \Omega \, eine nichtleere Menge und  A \subseteq \Omega, A \ne \varnothing A \ne \Omega \,. Ist

 \{ \varnothing, A, \Omega \} \,

eine  \sigma \,-Algebra auf  \Omega \,?

Frage 2

(a)

Sei  \Omega \, eine nichtleere Menge und sei  \mathcal A  \, eine  \sigma \,-Algebra auf  \Omega \,. Sei  P:\Omega \Rightarrow \R \, eine Funktion. Welche Eigenschaften muss  P \, erfüllen, um ein W-Maß auf  (\Omega, \mathcal A ) \, zu sein?

(b)

Sei  (\Omega, \mathcal A, P) \, ein W-Raum. Beweise die folgenden Aussagen:

(i)  A_n \in \mathcal A, A_n \subseteq A_{n+1} \, für  n \ge 1 \Rightarrow P(A_n) \uparrow P(A), \, wobei  A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n\,

(ii)  A_n \in \mathcal A, A_n \supseteq A_{n+1} \, für  n \ge 1 \Rightarrow P(A_n) \downarrow P(A), \, wobei  A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n\,

(c)

Sei  (\R, \mathcal B(\R), \mu) \, ein W-Raum. Definiere die Verteilungsfunktion  F \, von  \mu \, und gib an, welche Eigenschaften diese hat. Zeige, dass  F \, rechtsseitig stetig ist.

(d)

Sei  \lambda \, das Lebesguemaß auf  (0,1] \,. Verfiziere die Behauptung

 \lambda(\{x\}) = 0 \, für alle  x \in (0,1] \,.

(e)

Zeige

 \lambda(\mathbb Q \cap (0,1]) = 0 \,.

Frage 3

(a)

Definiere den Begriff Zufallsvariable.

(b)

Sei  (\Omega, \mathcal A ) \, ein Messraum. Zeige

 1_A \, ist  \mathcal A-\mathcal B(\R) \,-messbar  \iff A \in \mathcal A  \,

(c)

Seien  (\Omega, \mathcal A ) \, und  (\Omega', \mathcal A') \, Messräume. Sei  T: \Omega \rightarrow \Omega' \, eine  \mathcal A - \mathcal A' \,-messbare Abbildung. Sei  P \, ein W-Maß auf  (\Omega, \mathcal A) \,. Zeige, dass  P' \,, definiert durch

 P'(A') := P(T^{-1}(A')) \, für  A' \in \mathcal A' \,

ein W-Maß auf  (\Omega', \mathcal A') \, ist.

(d)

Es sei  \Omega:=\{1,2,3\}, \mathcal A :=P(\Omega), P  \, jenes diskrete W-Maß auf  \Omega \,, das durch

 P(\{1\}) = \frac 1 4, P(\{2\}) = \frac 1 4, P(\{3\}) = \frac 1 2 \,

gegeben ist. Sei weiters  \Omega' := \{1,2\}, \mathcal A' := P(\Omega') \, und  T: \Omega \rightarrow \Omega' \, definiert als

 T(1) = 1, T(2) = 2, T(3) = 1 \,.

Berechne das Bildmaß von  A':=\{1\} \, unter  T \,