Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 6

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Definition 6.1

Familie  A_i, i \in \mathrm I (A_i \ldots \text{Ereignisse})\, heißt unabhängig (bzgl. P) falls für alle endlichen Teilfamilien  \{i_1, \ldots, i_k\} \subseteq \mathrm I \,

 P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \ldots \cap A_{i_k}) = P(A_{i_1}) P(A_{i_2}) \cdots P(A_{i_k})\,

Definition 6.2

 \mathcal G_i, i \in \mathrm I, \mathcal G_i \subseteq \mathcal A  \, (Familie von Mengensystemen)

 \{\mathcal G_i : i \in \mathrm I \} \, falls für alle endlichen Teilmengen  \{i_1, \ldots, i_k\} \subseteq \mathrm I \, und jede Auswahl  A_i \in \mathcal G_i \,

 P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \ldots \cap A_{i_k}) = P(A_{i_1}) P(A_{i_2}) \cdots P(A_{i_k})\,

Lemma 6.3

 X:\Omega \rightarrow \Omega', \sigma(X) = \{X^{-1}(A') : A' \in \mathcal A \} \,

 \sigma(X) \, ist die kleinste  \sigma \,-Algebra, sodass  X \,  \sigma(X)-\mathcal A' \, messbar ist

Definition 6.4

 X_i:\Omega \rightarrow \Omega', i \in \mathrm I, \mathcal A-\mathcal A' \, messbar.

Familie  \{X_i:i \in \mathrm I\} \, heißt unabhängig bzgl. P falls  \{ \sigma(X_i) : i \in \mathrm I\} \, unabhängig ist.

Satz 6.5

 \{\mathcal G_i : i \in \mathrm I \} \, Familie von Mengensystemen welche unabhängig sind.  \mathcal G_i \subseteq \mathcal A, \mathcal G_i \cap-\text{stabil} \,

 \Rightarrow \{ \sigma(G_i) : i \in \mathrm I\} \, unabhängig

Korollar 6.6

 \{X_i : i \in \mathbb I \} \, eine Familie von Zufallsvariablen und unabhängig.

 P(X_{i_1} \le x_{i_1}, X_{i_2} \le x_{i_2}, \ldots , X_{i_k} \le x_{i_k}) = \prod_{j=1}^k P(X_{i_j} \le x_{i_j})\, 

Definition 6.7

Ein Mengensystem  \mathcal L \, auf  \Omega \, heißt  \lambda \,-System falls

(i)  \Omega \in \mathcal L \,
(ii)  A \in \mathcal L, B \in \mathcal L, A \subseteq B \Rightarrow B \setminus A \in \mathcal L  \,
(iii)  A_n \in \mathcal L, n \in \N, A_n \subseteq A_{n+1} \, \forall n \in \N \Rightarrow \bigcup_{n \in \N} A_n \in \mathcal L  \,

Lemma 6.8

 \mathcal C \subseteq P(\mathcal C) \,

 \lambda(\mathcal C) = \bigcap \{ \mathcal L \in P(\Omega) : \mathcal L \, \lambda-\text{System}, \mathcal C \subseteq \mathcal L \} \,

ist das kleinste von  \mathcal C  \, erzeugte  \lambda- \,System und enthält  \mathcal C  \,.

Lemma 6.9

Ein  \cap- \,stabiles  \lambda- \, System ist eine  \sigma \,-Algebra

Satz 6.10

 \mathcal C \subseteq P(\Omega) \,. Ist  \mathcal C  \,  \cap- \,stabil, dann ist  \lambda(\mathcal C) = \sigma(\mathcal C) \,

Satz 6.11

 X_i: \Omega \rightarrow \Omega', i \in \mathbb I = \{1,\ldots,k\} \, und messbar.

 X_1, \ldots, X_k \, sind unabhängig  \iff \operatorname{E} \left[ \prod_{i=1}^k h_i(x_i) \right] = \prod_{i=1}^k \operatorname{E} \left( h_i(x_i) \right)\,

für alle beschränkten messbaren Funktionen h_i:\Omega \rightarrow \Omega'\,.

Satz 6.12

 X_i: \Omega \rightarrow \R \,, messbar, unabhängig,  i=1,2 \,.  \operatorname{E}(|X_i|) < \infty \Rightarrow \operatorname{E}(|X_1 X_2|) < \infty \,

 \operatorname{E}(X_1 X_2) = \operatorname{E}(X_1) \operatorname{E}(X_2) \,

Satz 6.13

 \{X_i : i \in \mathbb I \}, X_i: \Omega \rightarrow \Omega' \, und messbar.  g_i:\Omega' \rightarrow \Omega'' \,

 \{X_i: i \in \mathbb I\} \, unabhängig  \{g_i(X_i) : i \in \mathbb I \} \, unabhängig

Definition 6.14

 A_n \subseteq \Omega, n \in \N \,

 \lim_{n \rightarrow \infty} \sup A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k \ge n} A_k = \{ \omega \in \Omega : \omega \in A_n \text{ fuer unendlich viele } n \in \N \}  \,
 \lim_{n \rightarrow \infty} \inf A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k \ge n} A_k = \{ \omega \in \Omega : \omega \in A_n \text{ fuer alle bis auf endlich viele } n \in \N \}  \,

Satz 6.15 (Borel-Cantelli Lemma)

 A_n \in \mathcal A, n \in \N \,

(a)  \sum_{i=1}^n P(A_n) < \infty \Rightarrow P(\lim \sup A_n) = 0\,
(b)  \sum_{i=1}^n P(A_n) = \infty \, und  \{A_i : i \in \N\} \, unabhängig  \Rightarrow P(\lim \sup A_n) = 1 \,

Korollar 6.16

 X_n:\Omega \rightarrow \R, \epsilon > 0 \,.

 \sum_{i=1}^n P(|X_n| > \epsilon) < \infty \Rightarrow P(\lim_{n \rightarrow \infty} X_n = 0) = 1 \,

Definition 6.17

 X_n:\Omega \rightarrow \Omega', n \in \N \, und messbar

 \mathcal T = \bigcap_{n \in N} \sigma (\{X_j : j \ge n \}) \subseteq \mathcal A  \,

die terminale  \sigma- \,Algebra der Folge  (X_n)_{n \in \N} \,

Satz 6.18 (Kolmogorovs 0-1 Gesetz)

 X_n:\Omega \rightarrow \Omega' \, messbar.  \{X_n : n \in \N\} \, unabhängig.  A \in \mathcal T \,

 P(A) = 0 \, oder  P(A) = 1 \,

Korollar 6.19

Vorraussetzung wie in Satz 6.18.

 Y:\Omega \rightarrow \bar{\R} \, und  \mathcal T-\mathcal B(\bar{\R}) \, messbare Abb.

 \Rightarrow \exists c \in \bar{\R} \, mit  P(Y = c) = 1 \,