Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 4 und 5

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Satz 4.1 (Markov Ungleichung)

T:\Omega \rightarrow \bar{\R} , c \in \R, c > 0 \, 

 P(\{ |T| \ge c \}) \le \frac 1 c \int |T| dP\,

Korollar 4.2

T:\Omega \rightarrow \bar{\R}, g:\bar{\R} \rightarrow \bar{\R}, c \in \R, c > 0\, 

 P( \{ |g(T)| \ge c \}) \le \frac 1 c \int |g(T)| dP \,

Korollar 4.3

T:\Omega \rightarrow \bar{\R}, g:\bar{\R} \rightarrow \bar{\R}, x \le x', g(x) \le g(x'), x \in \bar{\R}, g(x) \ge 0, \forall x, c \in \R, c > 0, g(c) > 0 \, 

(a)  P(|T| \ge c) \le \frac{1}{g(c)} \int g(|T|) dP \,

(b)  P(T \ge c) \le \frac{1}{g(c)} \int g(T) dP \,

Definition 4.4

\Phi: (a,b) \rightarrow \R, -\infty < a < b < \infty, \Phi \, heißt konvex falls für alle 0 \le \lambda < 1 \, und x,y \in (a,b) \, 

 \Phi(\lambda x + (1-\lambda) y) \le \lambda \Phi(x) + (1-\lambda) \Phi(y) \,

Lemma 4.5

a,b,\Phi \, wie oben. c \in (a,b) \, 

 \exists \alpha  \in  \R \, mit  \Phi(x) \ge \alpha (x-c) + \Phi(c) \qquad \forall x \in (a,b) \,

Satz 4.6 (Jensen'sche Ungleichung)

T:\Omega \rightarrow \R, \Phi: (a,b) \rightarrow \R \, und konvex. T(\omega) \in (a,b) \, \forall \omega \in \Omega, T, \Phi \circ T \, integrierbar 

 \Phi(\int T dP) \le \int (\Phi \circ T) dP \,

Lemma 4.7

x,y \in \R; x,y \ge 0, 1 < p < \infty, \frac 1 p + \frac 1 q = 1 \left(\Rightarrow q = \frac{p}{p-1} \right) \, 

 x^{\frac 1 p} y^{\frac 1 q} \le \frac 1 p x + \frac 1 q y \,

Satz 4.8 (Hölde Ungleichung)

S,T:\Omega \rightarrow \bar{\R}, 1 < p <\infty, q = \frac{p}{p-1} \, 

 \int |ST| dP \le \left( \int |S|^p dP \right)^{\frac 1 p} \left( \int |T|^q dP \right)^{\frac 1 q}\,

 |S|^p  \, integrierbar,  |T|^p \, integrierbar  \Rightarrow S T \, integrierbar

Korollar 4.9 (Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung)

Satz 4.8 mit p=2

Bemerkung 4.10

S,T:\Omega \rightarrow \bar{\R} \, T P-f.s. beschränkt durch M 

 \int |ST| dP \le M \int |S| dP\,

Korollar 4.11 (Minkowski Ungleichung)

S,T:\Omega \rightarrow \bar{\R}, T+S \, wohldefiniert, 1 < p < \infty \, 

  \left( \int |S + T|^p dP \right)^{\frac 1 p}\le \left( \int |S|^p dP \right)^{\frac 1 p} + \left( \int |T|^p dP \right)^{\frac 1 p}\,

Wegen Dreiecksungleichung |S+T|^{p-1} |S+T| \, und Hölde

und  (a+b)^p \le 2^{p-1} (a^p + b^p) \,

Korollar 4.12 (Zjapunar Ungleichung)

T:\Omega \rightarrow \bar{\R}, 1 < p < r < \infty \, 

 \left( \int |T|^p dP \right)^{\frac 1 p} \le \left( \int |T|^r dP \right)^{\frac 1 r} \,

Fall: p=1, r>1 \Rightarrow \, Jensen
Fall: p >1, r >1 \Rightarrow \frac r p + \,Jensen

Satz 5.1 (Transformationssatz)

T:\Omega \rightarrow \Omega', S:\Omega' \rightarrow \bar{\R}, S \ge 0 \, 

 \int_\Omega (S \circ T)  dP = \int_{\Omega'} S  d (PT^{-1})\,
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