Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 3

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Definition 3.1

T \, messbare, einfache Funktion, T:\Omega \rightarrow \R, \alpha_i \in \R, A_i \in \mathcal A \, 

 T:=\sum_{i=1}^n \alpha_i 1_{A_i} \,

 \int_\Omega T dP = \sum_{i=1}^n \alpha_i P(A_i) \,

Lemma 3.2

T \, messbare, einfache Funktion 

 T = \sum_{i=1}^n \alpha_i 1_{A_i} = \sum_{j=1}^k \beta_j 1_{B_j}  \,

Satz 3.3

T_1, T_2 \, messbare, einfache Funktionen 

(i)  \int 1_A dP = P(A) \,

(ii)  \int (c_1 T_1 + c_2 T_2) dP = c_1 \int T_1 dP + c_2 \int T_2 dP\,

(iii)  T_1 \le T_2 \Rightarrow \int T_1 dP \le \int T_2 dP \,

Satz 3.4

0 \le T_n(\omega) \le T_{n+1}(\omega), S \, einfach, S(\omega) \ge 0 \,, A_n, B_n \uparrow, \beta T_n \ge S, \downarrow + \Sigma, B_n \cap C_e \uparrow C_e \, 

 S(\omega) \le \lim_{n \rightarrow \infty} T_n(\omega) \Rightarrow \int S dP \le \lim_{n \rightarrow \infty} \int T_n dP \,

 \lim_{n \rightarrow \infty} T_n = \lim_{n \rightarrow \infty} T_n' \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \int T_n dP =  \lim_{n \rightarrow \infty} \int T_n' dP\,

mit  T_n \uparrow, T_n' \uparrow, T_n \ge 0, T_n' \ge 0 \,

Definition 3.5

T:\Omega \rightarrow \bar{\R}, \, messbar, T(\omega) \ge 0 \,

T_n:\Omega \rightarrow \R, 0 \le T_n(\omega) \le T_{n+1}(\omega) \, messbar einfach T_n(\omega) \uparrow T(\omega) \, 

 \int T dP = \lim_{n \rightarrow \infty} \int T_n dP \,

Satz 3.6

S:\Omega \rightarrow \bar{\R} , T:\Omega \rightarrow \bar{\R}, \, messbar, S \ge 0, T \ge 0 \,, \alpha \ge 0, \beta \ge 0 \, 

(i)  \int (\alpha T + \beta S) dP = \alpha \int T dP + \beta \int S dP \,
 T_n, \lim (0 \cdot \infty), T_n +S_n \uparrow T+S \,

(ii)  S \le T \Rightarrow \int S dP \le \int T dP \,

Satz 3.7

T:\Omega \rightarrow \bar{\R} \,, messbar, T \ge 0 \, 

 \int T dP = 0 \Leftrightarrow P(\{\omega \in \Omega : T(\omega) > 0 \}) = 0 \,

Satz 3.8 - Monotone Konvergenz

T_n:\Omega \rightarrow \bar{\R} \,, messbar, 0 \le T_n \uparrow T \, 

 \int T dP = \lim_{n \rightarrow \infty} \int T_n dP = \int \lim_{n \rightarrow \infty} T _n dP  \,

 \Rightarrow T_n \le T, \lim \int T_n \le T \,

Satz 3.9

T:\Omega \rightarrow \bar{\R} , \, messbar 

 T \, integrierbar   \Leftrightarrow \int T^+ dP < \infty, \int T^- dP < \infty,\, mit  \int T dP = \int T^+ dP - \int T^- dP \,

Definition 3.10

T:\Omega \rightarrow \bar{\R} \, 

 T \, quasi integrierbar   \Leftrightarrow \int T^+ dP = \infty, \int T^- dP = \infty\, nicht gleichzeitig

Satz 3.11

T:\Omega \rightarrow \bar{\R} \,. Folgende Aussagen sind äquivalent 

(i)  T \, ist integrierbar 

(ii)  T^+, T^- \, ist integrierbar 

(iii)  S,R:\Omega \rightarrow \bar{\R}  \, integrierbar  S \ge 0, R \ge 0, T = S-R \, (  S-R \, wohldefiniert), |T| = |S - R| \,

(iv)  H:\Omega \rightarrow \bar{\R}, H \ge 0   \, mit  |T| \le H \,, H\, integrierbar

(v)  |T| \, integrierbar

Korollar 3.12

T:\Omega \rightarrow \bar{\R}, 0 \le S_n \le |T| \, 

 T  \, integrierbar  \Rightarrow P(\{\omega \in \Omega : |T(\omega)| = \infty \}) = 0 \,

Korollar 3.13

T:\Omega \rightarrow \bar{\R} \, 

 S, T \, integrierbar  \Rightarrow \max(S,T), \min(S,T) \, integrierbar

Satz 3.14

S,T:\Omega \rightarrow \R; S,T \, integrierbar 

 \alpha T, S+T \, integrierbar mit  \alpha \in \R \, und

 \int (\alpha T) dP =  \alpha \int T dP\,

 \int (S+T) dP = \int S dP + \int T dP\,

Satz 3.15

S,T:\Omega \rightarrow \bar{\R} ; S,T \, quasi-integrierbar und S \le T \, 

 \int S dP \le \int T dP\,

Satz 3.16

S, T:\Omega \rightarrow \bar{\R} \,, quasi-integrierbar

S^+ \le T^+ + \infty \cdot 1_A \,

P(\{ \omega \in \Omega: S(\omega) \ne T(\omega) \}) = 0 \,

\int S^+ dP = \int T^+ dP \,

\int S^- dP = \int T^- dP \, 

 \int S dP = \int T dP \,

Definition 3.18

T:\Omega \rightarrow \bar{\R} ; T \, quasi-integrierbar, A \in \mathcal A \, 

 \int_A T dP = \int_A T 1_A dP \,

Definition 3.19

N \in \mathcal A, P(N) = 0, N \, heißt Nullmenge

E \, eine Eigenschaft sinnvoll für \omega \in \Omega \, 

Gilt  E \, für  \omega \in \Omega \setminus N \Rightarrow E \,  P-fast sicher, P-fast überall

(i)  E = \{\omega \in \Omega : E \text{ gilt fuer } \omega \} \, muss nicht  \in \mathcal A  \,

(ii)  \begin{array}{rcl}
\text{P-f.s.} & \Leftrightarrow & \Omega \setminus N \subseteq \{ \omega \in \Omega : E \text{ gilt fuer } \omega \} \\
 & \Leftrightarrow & N \supseteq \{ \omega \in \Omega : E \text{ gilt nicht fuer } \omega \} \\
\end{array} \,

(iii)  \begin{array}{rcl}
\{ \omega \in \Omega : E \text{ gilt fuer } \omega \} \in \mathcal A, E \text{ P-f.s.} 
 & \Leftrightarrow & P( \{ \omega \in \Omega : E \text{ gilt fuer } \omega \} ) = 1 \\
 & \Leftrightarrow & P(  \{ \omega \in \Omega : E \text{ gilt nicht fuer } \omega \} ) = 0 \\
\end{array} \,

Satz 3.20

S,T:\Omega \rightarrow \bar{\R} \,, messbar 

(a)  T,S \, quasi-integrierbar,  S \le T \, P-f.ü.  \Rightarrow \int S dP \le \int T dP\,

(b)  S \, quasi-integrierbar,  S = T \, P-f.ü.  \Rightarrow T \, quasi-integrierbar, \int S dP = \int T dP\,

(c)  S \, integrierbar,  S \le T \, P-f.ü.  \Rightarrow T \, quasi-integrierbar, \int S dP \le \int T dP\,

S^- \ge T^- \Rightarrow \, quasi-integrierbar

(d)  S \, integrierbar,  S = T \, P-f.ü.  \Rightarrow T \, integrierbar, \int S dP = \int T dP\,

Satz 3.21

T:\Omega \rightarrow \bar{\R}, T \, quasi-integrierbar 

 \left|\int T dP\right| \le \int |T| dP \,

Satz 3.22

T:\Omega \rightarrow \bar{\R}, T \, beschränkt (\exists M \ge 0, M \in \R, |T(\omega)| < M, \omega \notin N) \, 

 T \, integrierbar und  \left| \int T dP \right| \le M \,

Satz 3.23

S,T:\Omega \rightarrow \R; S,T \, quasi-integrierbar

\int_A S dP \le \int_A T dP \qquad \forall A \in \mathcal A \, 

 S \le T  \, P-f.s.

\int_A S dP = \int_A T dP \qquad \forall A \in \mathcal A \, 

 S = T  \, P-f.s.
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