Wahrscheinlichkeitstheorie - 9.10.2007

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 \Omega = (0,1], J\, Menge aller Teilintervalle  (a,b]\,

P((a, b] ) = b-a \,

 J^\star\, Algebra.  P\, ausgedehnt auf  J^\star \,

 P\, ist additiv auf  J^\star \,.

Nächster Schritt:

  •  A_i \in J^\star , i \in I\, abzählbar (endlich oder unendlich)
  •  A_i \, paarweise disjunkt und falls  \bigcup_{i \in I} A_i \in J^\star \, so gilt  P(\bigcup_{i \in I} A_i ) = \sum_{i \in I} P(\bigcup A_i )\,

Bereits reduziert auf: es genügt obige Aussage zu beweisen, falls  A_i \, Intervalle sind und ebenso  \bigcup_{i \in I} A_i \,

Zu zeigen:  A_i = (a_i, b_i] \subseteq \Omega\,, paarweise, disjunkt,  \bigcup_{i \in I} A_i = (a, b] \Rightarrow P(\bigcup_{i \in I} A_i ) = b - a = \sum_{i \in I} P(A_i) = \sum_{i \in I} (b_i - a_i)\,

Lemma 1.4

Sei  (a, b] \, Interval in  \mathbb R\, ( a, b muss nicht  (0,1]\,) und  (a, b] \supseteq \bigcup_{i \in I} (a_i, b_i], I \, endlich oder abzählbar unendlich.

 (a_i, b_i]  \, paarweise disjunkt!

(möglicherweise mit Lücken zwischen den Intervallen)

 b - a \ge \sum_{i \in I} (b_i - a_i)\,

( \ge weil  A_i \, nicht zusammenhängend)

Beweis - endlich

 I \, ist endlich. O.B.d.A.  I = \{1,2,3,\ldots\}\,.

 a \le a_1 < b_1 \le a_2 < b_2 \le \ldots \le a_n < b_n \le b\,

 \begin{align}
b - a
& = (b - b_n) + (b_n - a_n) + (a_n - b_{n-1}) + \ldots + (b_1 - a_1) + (a_1 - a) \\
& = (\ge 0) + (\ge 0) + (\ge 0) + \ldots + (\ge 0) + (\ge 0) \\
& \ge (b_n - b_n) + (b_{n-1} - a_{n-1}) + \ldots + (b_1 - a_1) \\
& = \sum_{i \in I} (b_i - a_i)
\end{align}\,

Beweis - abzählbar unendlich

 I\, abzählbar unendlich. Dann sei  K \subseteq I, K\, endlich, beliebig.

Dann:

 (a, b] \supseteq \bigcup_{i \in I} (a_i, b_i]  \ge \bigcup_{i \in K} (a_i, b_i]  \,

nach bereits bewiesenen Fall 1 (endlich) folgt.

 b - a \ge \sum_{i \in I} (b_i - a_i)\,

\sum_{i \in I} (b_i - a_i) = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^N (b_i - a_i)  \,

\Rightarrow \sum_{i \in I} (a, b] \le b - a \qquad \forall N\,

Definition für Limes:   \sum_{i=1}^N (b_i - a_i) =  \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^N (b_i - a_i)\,

Lemma 1.5

Sei  (a, b] \, Intervalle in  \mathbb R \, und  (a, b] \subseteq \bigcup_{i \in I} (a_i, b_i], I  \, endlich und abzählbar unendlich. (Kommentar: keine Lücken!)

Dann gilt:  b - a \le \sum_{i \in I} (b_i - a_i) \,

Beweis - endlich

 I \, ist endlich. O.B.d.A.  I = \{1,2,3,\ldots\}\,. Nehme an, dass die Intervalle, paarweise disjunkt sind.

Dann gilt:

 a_1 \le a, a_2 \le a, \ldots , a_l \le a, a_{l+1} > a  \,

 b_{k-1} < b, b_k \ge b, b_{k+1} > b, \ldots, b_n \ge b\,

Beachte:  \bigcup_{i=l}^k (a_i, b_i]  \supseteq (a, b] \, und klarerweise gilt  \sum_{i=l}^k (b_i - a_i) \le \sum_{i=1}^n (b_i - a_i) \,

Es genügt also zu zeigen:  \sum_{i=l}^k (b_i - a_i) \ge b - a \,

  \sum_{i=1}^k (b_i - a_i) = (b_k - a_k) + (b_{k-1} - a_{k-1}) + \ldots + (b_l - a_l) = b_k - a_l \ge  - a\,, weil   a_k = b_{k-1} \, und   b_k > b, a_l < a\,

Beweis - abzählbar unendlich

  I\, abzählbar unendlich. Sei   \epsilon > 0 \, beliebig. O.B.d.A.   I \in \mathbb N\,

(a_i, b_i] \subseteq (a_i, b_i + \frac \epsilon 2^i\,

Dann  (a, b] \subseteq \bigcup_{i \in I} (a_i, b_i] \subseteq \bigcup_{i \in I} (a_i, b_i + \frac \epsilon 2^i)\,

Zur Erinnerung:

Satz von Heine-Borel

Sei [c,d] \, ein abgeschlossenes beschränktes Intervall in   \mathbb R \,. Seien  \{ (e_i, f_i) : i \in I \}\, eine Überdeckung von   [c, d]\, durch offene Intervalle in   \mathbb R\,.
Dann gibt es eine endliche Teilüberdeckung von   [c,d]\, durch Intervalle  (e_i, f_i)\,, d.h. es gibt eine endliche Teilmenge   k \subseteq I\,, sodaß   [c,d] \subseteq \bigcup_{i \in K} (e_i, f_i)\,

[a + \epsilon, b] \subseteq (a,b]\,

Nach Satz von Heine-Borel folgt:

Es gibt   K \in I\, (endlich) mit   
[a + \epsilon, b] \subseteq 
\bigcup_{i \in K} \left (a_i, b_i + \frac{\epsilon}{2^i} \right) \subseteq  
\bigcup_{i \in K} \left (a_i, b_i + \frac{\epsilon}{2^i} \right] \subseteq  
(a+\epsilon, b) \subseteq [a+\epsilon, b] \,

Nach dem bereits bewiesenen Fall 1 für endiche Indexmengen folgt:

 \begin{align}
b - a - \epsilon 
& \le \sum_{i \in K} (b_i - a_i + \frac{\epsilon}{2^i} )  \\
& \le \sum_{i \in I} (b_i - a_i + \frac{\epsilon}{2^i} )  \\
& \le \sum_{i \in I} (b_i - a_i) + \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^i} \qquad \text{geom. Reihe} \\
& = \sum_{i \in I}  (b_i - a_i) + \epsilon 
\end{align} \,

Also  b-a \le \sum_{i \in I}  (b_i - a_i) + 2 \epsilon \, (gilt also für alle  \epsilon > 0 \,)

 \Rightarrow b -a \le \sum_{i \in I}  (b_i - a_i) \,

Wollen zeigen:  A = (a_i, b_i] \subseteq (0,1]\,, paarweise disjunkt  i \in I \, abzählbar

 \bigcup_{i \in I} A_i = (a, b] \subseteq (0,1] \,

 \Rightarrow P(\bigcup_{i \in I} A_i) = \sum_{i \in I} P(A_i) \,

 P(\bigcup_{i \in I} A_i ) = P((a,b]) = b -a = \sum_{i \in I} (b_i - a_i) = \sum_{i \in I} P(A_i) \,

Satz von Caratheodory

Sei  \Omega \, eine beliebige, nicht leere Menge und sei  \mathcal G \, eine Algebra auf  \Omega \,. Sei  P \, eine reellwertige Mengenfunktion auf  \mathcal G (G \in \mathcal G \mathbb R\, mit folgenden Eigenschaften

  •  P(\Omega) = 1 \,
  •  P( G) \ge 0  \, für alle  G \in \mathcal G \,
  •  P(\bigcup_{i \in I} G_i) = \sum_{i \in I} P(G_i) \, falls  I \, abzählbar und  G_i \in \mathcal G, G_i  \, paarweise disjunkt und  \bigcup_{i \in I} G_i \in \mathcal G  \,

Dann gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß  \bar P \, auf  \sigma(\mathcal G ) \, mit  \bar P(\mathcal G ) = P(\mathcal G )\, für alle  G \in \mathcal G  \,

Sind  \bar P  \, und  \bar \bar P \, zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf  \sigma(\mathcal G ) \, mit  \bar P(G) = P(G) = \bar \bar P (G) \, für  G \in \mathcal G \Rightarrow \bar P(F) = \bar \bar P(F) \, für alle  F \in \sigma(\mathcal G ) \,

KEIN BEWEIS (dauert ca. 2 Wochen)

Satz 1.6

Sei  \Omega = (0,1] \, und sei  \mathcal B ((0,1]) \, die von  \mathcal J^\star  \, erzeugte  \sigma  \,-Algebra. (d.h.  \mathcal B ((0,1]) = \sigma(\mathcal J^\star )  \,. Dann gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß  \lambda \, auf  \mathbb B ((0,1]) \, mit der Eigenschaft

 \lambda ((a,b]) = b - a\, für alle  (a,b] \subseteq \Omega \,

(Diese Maß  \lambda \, heißt Lebesque-Maß auf  (0,1] \, und  \mathcal B ((0,1]) \, heißt  \sigma \,-Algebra der Borel Menge von  (0,1] \,.)