Wahrscheinlichkeitstheorie - 4.10.2007

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Theorem 1.2

Sei  (\Omega, \mathcal A, P)\, ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dann gilt

  1.  P(\varnothing) = 0 \,
  2.  A, B \in \mathcal A, A \subseteq B \Rightarrow P(A) \le P(B) \, (Monotonie von P)
  3.  A \in \mathcal A \Rightarrow P(A) \le 1\,
  4.  A \in \mathcal A \Rightarrow P(A^C) = 1 - P(A)\,
  5.  A_i \in \mathcal A, i = 1, \ldots, n \, und paarweise disjunkt  \Rightarrow P(\bigcup_{i=1}^n A_i) = \sum_{i=1}^n A_i \, (endlich Additivität von P)
  6.  A \in \mathcal A, i \in \{1,2,\ldots\} \Rightarrow P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) \le \sum_{i=1}^{\infty} A_i\, (Sub Additivität)
    Gilt genauso für endliche Vereinigungen: P(\bigcup_{i=1}^n A_i) \le \sum_{i=1}^n A_i \,
    Beachte:  A_i\, müssen nicht paarweise disjunkt sein.
  7.  A, B \in \mathcal A \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\,

Beweis zu 4.

 \Omega = A \cup A^C\,, wobei  A \cap A^C = \varnothing\,

Jetzt gilt wegen 5.

 \begin{array}{rcl} 
P(\Omega) & = & P(A) + P(A^C) \\
1 & = & P(A) + P(A^C) \\
P(A^C) &=& 1 - P(A)
\end{array}\,

Theorem 1.3

Sei  (\Omega, \mathcal A, P)\, ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dann gilt

  1.  A_n \in \mathcal A \, und  A_n \subseteq A_{n+1}\, für alle  n\,.
    Setze  A = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\,

     P(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} P(A_n)\,

    genauer  P(A_n) \nearrow P(A)\,. (Stetigkeit von unten -- monoton wachsend von unten)
  2.  A_n \in \mathcal A, A_n \supseteq A_{n+1}\, für alle  n\,.
     \Rightarrow P(A_n) \searrow P(A)\, wobei  A = \bigcap_{n=1}^\infty A_n\,
    (Stetigkeit von oben)

Beweis zu 1.

Definiere

\begin{array}{rcl}
B_1 & := & A_1 \\
B_2 & := & A_2 \setminus A_1 \\
B_3 & := & A_3 \setminus A_2 \\
\vdots & & \\
B_{n+1} & := & A_{n+1} \setminus A_n 
\end{array}\,

Dann sind  B_n\, paarweise disjunkt und es gilt

 A_n = \bigcup_{i=1}^n B_i, A = \bigcup_{i=1}^\infty B_i\,

 \begin{align}
P(A) 
& = P(\bigcup_{i=1}^\infty B_i) \\
& = \sum_{i=1}^\infty P(B_i) \qquad \mathrm{paarweise} \, \mathrm{disjunkt} \\
& = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n P(B_i) \\
& = \lim_{n \rightarrow \infty} P(\bigcup_{i=1}^n B_i) \\
& = \lim_{n \rightarrow \infty} P(A_n)
\end{align}

Das Lebesguemaß auf  (0, 1]\, der Gleichverteilung auf  (0, 1]\,

Sei  \Omega = (0,1], J \, das System aller Intervalle der Form  (a, b] \subseteq (0, 1]\,. Auf  J\, haben wir  P((a,b]) = b - a \qquad (P: J \rightarrow \mathbb R\,)

Sei  J^\star\, das System aller Mengen A \subseteq \Omega die sich als endliche, paarweise disjunkte Vereinigung von Elementen aus  J\, schreiben lassen:

A \in J^\star\ \Leftrightarrow \exists \ n \in \mathbb{N}

A=\bigcup_{i=1}^n (a_i,b_i], \qquad (a_i,b_i]\cap(a_j,b_j]=\emptyset, i\neq j

 J^\star\ ist eine Algebra auf \Omega\,:

  • \Omega \in J^\star\
  •  A \in J^\star\, dh.  A=\bigcup_{i=1}^n (a_i,b_i] \Rightarrow A^c=(0,a_1]\cup(b_1,a_2]\cup \dots \cup(b_n,1]
  •  A, B \in J^\star\, dh. A=\bigcup_{i=1}^n (a_i,b_i], B=\bigcup_{j=1}^m (c_j,d_j]

\begin{array}{rcl} 
\Rightarrow A \cap B &=& \bigcup_{i=1}^n ((a_i,b_i]) \cap (\bigcup_{j=1}^m (c_j,d_j])\\
&=& \bigcup_{j=1}^m (\left(\bigcup_{i=1}^n(a_i,b_i])\cap (c_j,d_j]\right)\\
&=& \bigcup_{j=1}^m\bigcup_{i=1}^n (\left(a_i,b_i]\cap (c_j,d_j]\right)\\
&=& \bigcup_{i=1,\dots,n; j=1,\dots,m} \left( (a_i,b_i]\cap(c_j,d_j] \right), \in J^\star\ \\
\end{array}\,

Diese Vereinigungen von oben sind also entweder leere Mengen oder halboffene Intervalle.

Es bleibt zu überlegen, warum aus  A\cap B \in J^\star\ folgt, dass  A\cup B \in J^\star\ :

Es gilt klarerweise  J \subseteq J^\star\ . Wir wollen eine Abbildung haben  P:J^\star\ \mapsto \mathbb{R}. Dafür nehmen wir:

Für  A \in J^\star\, \text{dh.} A=\bigcup_{i=1}^n (a_i,b_i], \, \text{setze} \, P(A):=\sum_{i=1}^n (b_i-a_i)

Man kann folgendes zeigen: Ist  A=\bigcup_{j=1}^m (c_j,d_j] , dann gilt:

P\left(\bigcup_{j=1}^m (c_j,d_j]\right)=P\left(\bigcup_{i=1}^n (a_i,b_i]\right)

und somit ist  P \, wohldefiniert auf  J^\star\ und erweitert die Definition für Elemente aus  J \,.

Es gilt:

  •  P(\Omega)=P\left( (0,1] \right) = 1-0=1
  •  P(A) \geq 0 \quad \forall A \in J^\star\
  •  A,B \in J^\star\, A\cap B=\emptyset \Rightarrow P(A\cup B) = P(A)+P(B)

Beispiel:

Seien  A_i=\left(\frac{1}{2^i},\frac{1}{2^{i-1}} \right] \in J \subseteq J^\star\;\  i\geq 1\ \text{und}\ A=\bigcup_{i=1}^\infty A_i=(0,1] \in J^\star\

Es sollte gelten:
 P(A)=P \left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right)= \sum_{i=1}^\infty P(A_i) da die A_i paarweise disjunkt sind und  P( \bigcup_{i=1}^\infty A_i)=P((0,1])=1

und in weiterer Folge gilt dann
\sum_{i=1}^\infty P(A_i) = \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^{i-1}}-\frac{1}{2^i}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^{i-1}}=1

Wir wollen also zeigen:
 A_i\in J^\star\, A_i \ \text{pd} und  \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in J^\star\ \Rightarrow P \left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i) , also dass P\, \sigma\,-additiv auf J^\star\, ist.

Erste Überlegung dazu:
Seien  A_i \in J^\star\, i\geq 1, A_i \ \text{pd}, \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in J^\star\

Dann  A_i \in J^\star\ \Rightarrow  A_i = \bigcup_{j=1}^{m_i} A_{ij}, A_{ij} \in J, A_{ij}\ \text{pd} Ausserdem  \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in J^\star\ \Rightarrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i = \bigcup_{l=1}^k B_l, B_l \in J, B_l \ \text{pd}

Es folgt, dass  P(\bigcup_{i=1}^n A_i)=P(\bigcup_{l=1}^k B_l)=\sum_{l=1}^k P(B_l)=\sum_{l=1}^k \sum_{i,j} P(A_{ij}) ist, d.h. das B_l ist eine pd-Vereinigung gewisser abzählbarer A_ij. Anders gesagt: Ist (a,b] eine abzählbare disjunkte Vereinigung von Intervallen (a_i,b_i], dann gilt: P((a,b])=\sum_{i=1}^\infty P(a_i,b_i].