Wahrscheinlichkeitstheorie - 2.10.2007

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Wahrscheinlichkeitsmass und Wahrscheinlichkeitsraum

Definition 1.1

Sei \Omega\, eine nicht leere Menge. Sie \mathcal{A} \, ein System von Teilmengen von \Omega \,(d.h. \mathcal{A} \subseteq P(\Omega)\,).

\mathcal{A} \, heisst \sigma \,-Algebra (\sigma \, Field) falls gilt

  1. \Omega \in \mathcal A \,
  2. A \in \mathcal A \rightarrow A^c \in \mathcal A \,
  3. Ist A_i \in \mathcal A \, für i \in \mathbb N \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb N} A_i \in \mathcal A \,

(Abzählbare Vereinigungsbildung für nicht aus der Menge) TODO Satz passt nicht?!

Gilt statt 3 nur 3' ist A \in \mathcal A, B \in \mathcal A \rightarrow A \cup B \in \mathcal A\,, dann heisst \mathcal A \, Algebra auf \Omega\,.

Bemerkung 1.1

  1. Ist \mathcal A \, eine \sigma \,-Algebra, so ist sie auch eine Algebra.
  2. Ist \mathcal A\, eine Algebra \rightarrow \varnothing \in \mathcal A\,
  3. Ist \mathcal A\, eine Algebra so gilt auch A \in \mathcal A, B \in \mathcal A \rightarrow A \cap B \in \mathcal A\,

Beispiel 1.1

  1. Ist \mathcal A = { \varnothing, \Omega } \, ist \sigma\,-Algebra ("triviale Algebra")
  2. P(\Omega) \, ist \sigma\,-Algebra
  3. \mathcal A \, = System aller endlichen Teilmengen von \Omega \, und deren Komplemente. \mathcal A \, ist eine Algebra (d.h. im allg. keine \sigma\,-Algebra)
  4. \mathcal A \, = System aller (höchstens) abzählbaren Teilmengen von \Omega \, und deren Komplemente. \mathcal A \, ist \sigma\,-Algebra. ( A_i \cap A_j = \varnothing falls i \ne j )\,

Definition 1.2

Sei \Omega \, eine nicht leere Menge und \mathcal A \, eine \sigma\,-Algebra auf \Omega \,. Sei P:\mathcal A \rightarrow \mathbb R \, eine Abbildung. P \, heisst Wahrscheinlichkeitsmass auf (\Omega, \mathcal A) \, falls

  1. P(\Omega) = 1 \,
  2. P(A) \ge 0 \, für alle A \in \mathcal A \,
  3. Sind A_i \in \mathcal A, i \in \mathbb N \, und sind A_i \, paarweise disjunkt dann P(\bigcup_{i \in \mathbb N} A_i) = \sum_{i \in \mathbb N} P(A_i) \, (" \sigma \,-Additivität")

(\Omega, \mathcal A, P) \, heisst Wahrscheinlichkeitsraum.

Beispiel 1.2

Sei \Omega \, eine nicht leere (höchstens) abzählbare Menge.

\Omega = \{ w_1, w_2, w_3, \ldots \}\,

Seien reelle Zahlen p(w_i) \, gegeben mit p(w_i) \ge 0 \, und \sum_{i \in \mathbb N} = 1 \,

Setze \mathcal A = P(\Omega) \,

Setze für alle A \in \mathcal A \, (d.h. für alle A \in \mathbb R \,)

P(A) = \sum_{w_i \in A} p(w_i) \,

Dann ist P \, ein Wahrscheinlichkeitsmass auf (\Omega, \mathcal A, P) \,.

("Diskretes Wahrscheinlichkeitsmass")

Beispiel 1.3

\Omega = (0,1] \,

Möchte ein Wahrscheinlichkeitsmass P \, auf \Omega \,, so dass für Intervale (a, b] \subseteq \Omega \, gilt P( (a, b] ) = b - a \,. ( a \le b \, ist Vorraussetzung).

Versuche eine Konstruktion:

Sei \mathcal J \, das System aller Teilintervalle (a, b] \subseteq \Omega \,.

Definiere die Abbildung p: \mathcal J \rightarrow \mathbb R \, durch P( (a, b] ) = b - a \,.

\mathcal J \, ist keine \sigma\,-Algebra (bzw. Algebra).

Wir wollen es schaffen, dass P(A \cup B) = P(A) + P(B) \,

Sei \mathcal J^{\star} \, = System aller Teilmengen von \Omega \,, welche als endliche disjunkte Vereinigung von Intervallen (d.h. Mengen von \mathcal J \,) geschrieben werden können.

(klarerweise \mathcal J \subseteq \mathcal J^{\star} \, ). Beachte \mathcal J^{\star} \, ist eine Algebra.

Dehne P \, auf \mathcal J^{\star} \, aus wie folgt: Sei A \in \mathcal J^{\star} \,, d.h. A = \bigcup_{i=1}^m (a_i, b_i] \, mit (a_i, b_i] \, paarweise disjunkt.

Setze P(A) = \sum_{i=1}^m (b_i - a_i) \, (Zu zeigen: Die Zuweisung ist wohl definiert = unabhängig von der Darstellung)

Klarerweise erfüllt P \, die Eigenschaften

  1. P(\Omega) = 1 \,
  2. P(A) \ge 0 \, für alle A \in \mathcal J^{\star} \,
  3. A \in \mathcal J^{\star}, B \in \mathcal J^{\star}, A \cap B = \varnothing \rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B) \,

P \, ist auf der Algebra \mathcal J^{\star} \, definiert und erfüllt Eigenschaften 1, 2 und 3 eines Wahrscheinlichkeitsmass und ist additiv.

\mathcal J^{\star} \, ist keine \sigma\,-Algebra. Gegenbeispiel:

C = \bigcup_{i=1}^{\infty} (2^{-(2i + 1)}, 2^{-2i}] = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i, A_i \in \mathcal J \in \mathcal J^{\star} \,

C \, liegt aber nicht \mathcal J^{\star} \,.

C \, lässt sich nicht als endlich paarweise disjunkte Vereinigung von Intervallen schreiben.

Fragen:

  1. Gibt es eine \sigma\,-Algebra mit \mathcal J^{\star} \subseteq \mathcal A \,, sodass P \, auf \mathcal A \, als Wahrscheinlichkeitsmass ausgedehnt werden kann? Ja, \mathcal A \, wird die "kleinste" \sigma\,-Algebra sein, welche \mathcal J^{\star} \, enthält.
  2. Wie sieht \mathcal A \, aus? Kann \mathcal A \, als P(\Omega) \, gewählt werden? Im Allgemeinen Nein, im diskreten Raum aber kein Problem.
  3. Ist Ausdehnung von P \, eindeutig? Ja

Satz 1.1

Sei \Omega \, eine nicht leere Menge und \mathcal M \subseteq P(\Omega) \,. Dann gibt es eine kleinste \sigma\,-Algebra, welche \mathcal M \, umfasst. Für die schreiben wir \sigma(\mathcal M) \,. \sigma(\mathcal M) \, heisst die von \mathcal M \, erzeugte \sigma\,-Algebra.

(D.h. die kleinste \sigma\,-Algebra heisst TODO Satz komisch Ist A \supseteq \mathcal M \, und ist \mathcal A \, eine \sigma\,-Algebra, so ist \sigma(M) \subseteq \mathcal A_i \,)

Beweis

Es gibt einmal mindestens eine \sigma\,-Algebra welche \mathcal M \, umfasst, nämliche P(\Omega) \,.

Setze \Sigma = \{ \mathcal N \subseteq P(\Omega) : \mathcal M \in \mathcal N, \mathcal N \sigma \mathrm{-Algebra} \} \,

\Sigma \, ist nicht leer, da P(\Omega) \in \Sigma \,

Setze \sigma(\mathcal M) = \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \mathcal N \,

Es gilt: \mathcal M \subseteq \sigma(\mathcal M) \,. Klar, da \mathcal M \subseteq \mathcal N\, für alle \mathcal N \in \Sigma \rightarrow \mathcal M = \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \mathcal N = \sigma(\mathcal M) \,

\sigma(\mathcal M) \, ist \sigma\,-Algebra:

  1. \mathcal N \, ist \sigma\,-Algebra \rightarrow \Omega \in \mathcal N \, für alle \mathcal N \in \Sigma \rightarrow \Omega \in \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \mathcal N = \sigma(\mathcal M) \,.
  2. Sei A \in \sigma(\mathcal M) \Rightarrow A \in \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \Rightarrow A \in \mathcal N \, für alle \mathcal N \in \Sigma \Rightarrow A^c \in \mathcal N \, für alle \mathcal N \in \Sigma \Rightarrow A^c \in \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \mathcal N = \sigma(\mathcal M)\,
  3. Seien A_i \in \sigma(\mathcal M) \, für i \in \mathcal N \Rightarrow A_i \in \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \mathcal N \, für i \in \mathbb N \Rightarrow A_i \in \mathcal N, \forall \mathcal N \in \Sigma, \forall i \in \mathbb N \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb N} A_i \in \mathcal N \forall \mathcal N \in \Sigma \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb N} A_i \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \mathcal N = \sigma(\mathcal M) \,

Also ist \sigma(\mathcal M) \, eine \sigma\,-Algebra.

Sei \mathcal A\, eine beliebige \sigma\,-Algebra welche \mathcal M\, umfaßt. ´ D.h. \mathcal A \in \Sigma\,. Aber \sigma(\mathcal M) = \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \mathcal N \subseteq \mathcal A\,, da \mathcal A\, in \Sigma\, vorkommt.

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