Wahrscheinlichkeitstheorie - 2.10.2007

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Wahrscheinlichkeitsmass und Wahrscheinlichkeitsraum

Definition 1.1

Sei \Omega\, eine nicht leere Menge. Sie \mathcal{A} \, ein System von Teilmengen von \Omega \,(d.h. \mathcal{A} \subseteq P(\Omega)\,).

\mathcal{A} \, heisst \sigma \,-Algebra (\sigma \, Field) falls gilt

  1. \Omega \in \mathcal A \,
  2. A \in \mathcal A \rightarrow A^c \in \mathcal A \,
  3. Ist A_i \in \mathcal A \, für i \in \mathbb N \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb N} A_i \in \mathcal A \,

(Abzählbare Vereinigungsbildung für nicht aus der Menge) TODO Satz passt nicht?!

Gilt statt 3 nur 3' ist A \in \mathcal A, B \in \mathcal A \rightarrow  A \cup B \in \mathcal A\,, dann heisst  \mathcal A \, Algebra auf  \Omega\,.

Bemerkung 1.1

  1. Ist  \mathcal A \, eine \sigma \,-Algebra, so ist sie auch eine Algebra.
  2. Ist  \mathcal A\, eine Algebra  \rightarrow \varnothing \in \mathcal A\,
  3. Ist  \mathcal A\, eine Algebra so gilt auch  A \in \mathcal A, B \in \mathcal A \rightarrow A \cap B \in \mathcal A\,

Beispiel 1.1

  1. Ist  \mathcal A = { \varnothing, \Omega } \, ist \sigma\,-Algebra ("triviale Algebra")
  2.  P(\Omega) \, ist \sigma\,-Algebra
  3.  \mathcal A \, = System aller endlichen Teilmengen von  \Omega \, und deren Komplemente.  \mathcal A  \, ist eine Algebra (d.h. im allg. keine \sigma\,-Algebra)
  4.  \mathcal A  \, = System aller (höchstens) abzählbaren Teilmengen von  \Omega \, und deren Komplemente.  \mathcal A  \, ist \sigma\,-Algebra. ( A_i \cap A_j = \varnothing falls  i \ne j )\,

Definition 1.2

Sei  \Omega \, eine nicht leere Menge und  \mathcal A \, eine \sigma\,-Algebra auf  \Omega \,. Sei  P:\mathcal A \rightarrow \mathbb R \, eine Abbildung.  P  \, heisst Wahrscheinlichkeitsmass auf  (\Omega, \mathcal A) \, falls

  1.  P(\Omega) = 1 \,
  2.  P(A) \ge 0 \, für alle  A \in \mathcal A \,
  3. Sind  A_i \in \mathcal A, i \in \mathbb N  \, und sind  A_i \, paarweise disjunkt dann  P(\bigcup_{i \in \mathbb N} A_i) = \sum_{i \in \mathbb N} P(A_i) \, (" \sigma \,-Additivität")

 (\Omega, \mathcal A, P)  \, heisst Wahrscheinlichkeitsraum.

Beispiel 1.2

Sei  \Omega \, eine nicht leere (höchstens) abzählbare Menge.

 \Omega = \{ w_1, w_2, w_3, \ldots \}\,

Seien reelle Zahlen  p(w_i)  \, gegeben mit  p(w_i) \ge 0 \, und  \sum_{i \in \mathbb N} = 1 \,

Setze  \mathcal A = P(\Omega) \,

Setze für alle  A \in \mathcal A  \, (d.h. für alle  A \in \mathbb R \,)

 P(A) = \sum_{w_i \in A} p(w_i) \,

Dann ist  P \, ein Wahrscheinlichkeitsmass auf  (\Omega, \mathcal A, P)  \,.

("Diskretes Wahrscheinlichkeitsmass")

Beispiel 1.3

 \Omega = (0,1] \,

Möchte ein Wahrscheinlichkeitsmass  P \, auf  \Omega \,, so dass für Intervale  (a, b] \subseteq \Omega \, gilt  P( (a, b] ) = b - a \,. ( a \le b \, ist Vorraussetzung).

Versuche eine Konstruktion:

Sei  \mathcal J \, das System aller Teilintervalle  (a, b] \subseteq \Omega \,.

Definiere die Abbildung  p: \mathcal J \rightarrow \mathbb R  \, durch  P( (a, b] ) = b - a \,.

 \mathcal J \, ist keine \sigma\,-Algebra (bzw. Algebra).

Wir wollen es schaffen, dass  P(A \cup B) = P(A) + P(B) \,

Sei  \mathcal J^{\star} \, = System aller Teilmengen von  \Omega \,, welche als endliche disjunkte Vereinigung von Intervallen (d.h. Mengen von  \mathcal J \,) geschrieben werden können.

(klarerweise  \mathcal J \subseteq \mathcal J^{\star} \, ). Beachte  \mathcal J^{\star} \, ist eine Algebra.

Dehne  P \, auf  \mathcal J^{\star} \, aus wie folgt: Sei  A \in \mathcal J^{\star} \,, d.h.  A = \bigcup_{i=1}^m (a_i, b_i] \, mit  (a_i, b_i] \, paarweise disjunkt.

Setze  P(A) = \sum_{i=1}^m (b_i - a_i) \, (Zu zeigen: Die Zuweisung ist wohl definiert = unabhängig von der Darstellung)

Klarerweise erfüllt  P \, die Eigenschaften

  1.  P(\Omega) = 1 \,
  2.  P(A) \ge 0 \, für alle  A \in \mathcal J^{\star} \,
  3.  A \in \mathcal J^{\star}, B \in \mathcal J^{\star}, A \cap B = \varnothing \rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B) \,

 P \, ist auf der Algebra  \mathcal J^{\star} \, definiert und erfüllt Eigenschaften 1, 2 und 3 eines Wahrscheinlichkeitsmass und ist additiv.

 \mathcal J^{\star} \, ist keine \sigma\,-Algebra. Gegenbeispiel:

 C = \bigcup_{i=1}^{\infty} (2^{-(2i + 1)}, 2^{-2i}] = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i, A_i \in \mathcal J \in \mathcal J^{\star} \,

 C \, liegt aber nicht  \mathcal J^{\star} \,.

 C  \, lässt sich nicht als endlich paarweise disjunkte Vereinigung von Intervallen schreiben.

Fragen:

  1. Gibt es eine \sigma\,-Algebra mit  \mathcal J^{\star} \subseteq \mathcal A \,, sodass  P \, auf  \mathcal A \, als Wahrscheinlichkeitsmass ausgedehnt werden kann? Ja,  \mathcal A \, wird die "kleinste" \sigma\,-Algebra sein, welche  \mathcal J^{\star} \, enthält.
  2. Wie sieht  \mathcal A \, aus? Kann \mathcal A \, als  P(\Omega) \, gewählt werden? Im Allgemeinen Nein, im diskreten Raum aber kein Problem.
  3. Ist Ausdehnung von  P  \, eindeutig? Ja

Satz 1.1

Sei  \Omega \, eine nicht leere Menge und  \mathcal M \subseteq P(\Omega) \,. Dann gibt es eine kleinste \sigma\,-Algebra, welche  \mathcal M \, umfasst. Für die schreiben wir  \sigma(\mathcal M) \,.  \sigma(\mathcal M) \, heisst die von  \mathcal M \, erzeugte \sigma\,-Algebra.

(D.h. die kleinste \sigma\,-Algebra heisst TODO Satz komisch Ist  A \supseteq \mathcal M \, und ist  \mathcal A \, eine \sigma\,-Algebra, so ist  \sigma(M) \subseteq \mathcal A_i \,)

Beweis

Es gibt einmal mindestens eine \sigma\,-Algebra welche  \mathcal M \, umfasst, nämliche  P(\Omega) \,.

Setze  \Sigma = \{ \mathcal N \subseteq P(\Omega) : \mathcal M \in \mathcal N, \mathcal N \sigma \mathrm{-Algebra} \} \,

 \Sigma \, ist nicht leer, da  P(\Omega) \in \Sigma \,

Setze  \sigma(\mathcal M) = \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \mathcal N \,

Es gilt:  \mathcal M \subseteq \sigma(\mathcal M) \,. Klar, da  \mathcal M \subseteq \mathcal N\, für alle  \mathcal N \in \Sigma \rightarrow \mathcal M =  \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \mathcal N = \sigma(\mathcal M) \,

 \sigma(\mathcal M) \, ist \sigma\,-Algebra:

  1.  \mathcal N \, ist \sigma\,-Algebra  \rightarrow \Omega \in \mathcal N  \, für alle  \mathcal N \in \Sigma \rightarrow \Omega \in \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \mathcal N = \sigma(\mathcal M) \,.
  2. Sei  
A \in \sigma(\mathcal M) \Rightarrow 
A \in \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \Rightarrow
A \in \mathcal N  \, für alle \mathcal N \in \Sigma \Rightarrow
A^c \in \mathcal N \, für alle \mathcal N \in \Sigma \Rightarrow
A^c \in \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \mathcal N = \sigma(\mathcal M)\,
  3. Seien A_i \in \sigma(\mathcal M) \, für i \in \mathcal N \Rightarrow
A_i \in \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \mathcal N \, für i \in \mathbb N \Rightarrow
A_i \in \mathcal N, \forall \mathcal N \in \Sigma, \forall i \in \mathbb N \Rightarrow 
\bigcup_{i \in \mathbb N} A_i \in \mathcal N \forall \mathcal N \in \Sigma \Rightarrow
\bigcup_{i \in \mathbb N} A_i \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \mathcal N = \sigma(\mathcal M)
\,

Also ist \sigma(\mathcal M) \, eine \sigma\,-Algebra.

Sei \mathcal A\, eine beliebige \sigma\,-Algebra welche \mathcal M\, umfaßt. ´ D.h. \mathcal A \in \Sigma\,. Aber \sigma(\mathcal M) = \bigcap_{\mathcal N \in \Sigma} \mathcal N \subseteq \mathcal A\,, da \mathcal A\, in \Sigma\, vorkommt.