Wahrscheinlichkeitstheorie - 18.10.2007

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Wir waren dabei, den Satz 1.9 zu beweisen. F:\R \rightarrow \R erfüllt die Eigenschaften (i) – (iii) aus Satz 1.9. Dann gibt es ein W-Maß \mu auf (\R, \mathfrak B(\R)), sodass \mu((-\infty,x])=F(x)\  \forall x \in \R \,.

Wir haben Satz 1.9 bewiesen, falls Satz 1.9 stetig ist.

  • \mathfrak D_i=(F(a_i), F(b_i)]
  • \mathfrak{D}=(F(a),F(b)]
  • \mathfrak{D}_i, \mathfrak D \subseteq (0,1]

F beliebig: \mu((a,b])=F((b))-F((a))\, d.h. \mu auf \mathcal J_{\R} definiert. \mu ist \sigma-additiv auf \mathcal J_\R^* (Hier haben wir vermutet, dass F stetig ist.) Dann: Satz von Carathéodory anwenden.

Lemma 1.10

Sei F:\R \rightarrow \R eine Funktion und erfülle die Eigenschaft (i) – (iii). Dann lässt sich F schreiben als F = c_1\cdot F_1+c_2\cdot F_2 wobei c_1 \ge 0, c_1+c_2=1, F_1,\,F_2 erfüllen die Eigenschaften (i), (ii), (iii), F_1 ist stetig und F_2 hat die Form:

F_2(x) = \sum_{i=1}^{\infty}{\alpha_i\mathbb{I}_{[z_i,\infty]}(x)}

wobei \mathbb{I}_{[z_i,\infty]}(x) die Indikatorfunktion ist und definiert ist als:

\mathbb{I}_{[z_i,\infty]}(x)=\begin{cases}
  1, & \text{wenn }x\text{ in }[z_i,\infty]\text{ liegt}\\
  0, & \text{ansonsten}
\end{cases}

wobei z_i \in \R, \alpha_i \ge 0, \sum_{i=1}^{\infty}{\alpha_i=1}.

Weiter im Beweis 1.9

Sei F wir in Satz 1.9. Nach Lemma 1.10 kann F geschrieben werden als

 F = c_1 F_1 + c_2 F_2 \, mit  F_1, F_2, c_1, c_2 \, wie in Lemma 1.10.

Falls  c_2 = 0 \,, schon erledigt. Also  c_2 > 0 \,

Definiere  \mu_2(A) = \sum_{i=1}^\infty \alpha_i \mathbb{I}_A(z_i)  \, für alle  A \subseteq \R \,

Dann ist  \mu_2 \, ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf  (\R, P(\R)) \, (dann auch auf  \mathfrak B(\R) \,)

  •  \mu_2(\R) = \sum_{i=1}^\infty \alpha_i \mathbb{I}_\R(z_i) = \sum_{i=1}^\infty \alpha_i = 1  \,
  •  \mu_2(A) \ge 0 \, für alle  A \in P(\R) \,
  •  A_j \in P(\R), j \in \N, A_j \, paarweise disjunkt
 \sigma \,-Additivität

 \begin{align}
\mu_2(\bigcup_{j \in \N} A_j) 
& = \sum_{i=1}^\infty \alpha_i \mathbb{I}_{\bigcup_{j \in \N} A_j}(z_i) \\
& = \sum_{i=1}^\infty \alpha_i \sum_{j \in \N} \mathbb{I}_{A_j}(z_i) \\
& = \sum_{j \in \N} \sum_{i=1}^\infty \alpha_i \mathbb{I}_{A_j}(z_i) \\
& = \sum_{j \in \N} \mu_2(A_j)
\end{align} \,
 A, B \, disjunkt  \Rightarrow \mathbb{I}_{A \cup B}(z) = \mathbb{I}_A(z) + \mathbb{I}_B(z) \,

 \bigcup A_i, A_i \, paarweise, disjunkt  \Rightarrow \mathbb{I}_{\bigcup A_i }(z) = \sum \mathbb{I}_{A_i}(z) \,

\begin{align}
\mu_2((-\infty, x]) & = \sum_{i=1}^{\infty}{\alpha_i\mathbb{I}_{(-\infty, x]}(z_i)} \\
 & = \sum_{i=1}^{\infty}{\alpha_i\mathbb{I}_{[z_i,\infty]}(x)}
\end{align}

Fall c_1 = 0

c_2 = 1, d.h. F = F_2. Dann sei \mu=\mu_2, und damit erledigt.

Fall c_1 > 0, c_2 > 0

F_1 erfüllt Vorraussetzung von Satz 1.9 und ist stetig. Daher wissen wir schon, dass es ein W-Maß auf (\R, \mathcal{B}(\R)) gibt mit:

\mu_1((-\infty, x])=F_1(x)

Nach den gerade vorher überlegten Dingen zu F_2 gibt es das vorhandene W-Maß \mu_2 auf (\R, \mathcal{B}(\R)) mit

\mu_2((-\infty, x])=F_2(x),

Definiere:

\mu(A)=c_1\mu_1(A)+c_2\mu_2(A).