Wahrscheinlichkeitstheorie - 18.10.2007

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Wir waren dabei, den Satz 1.9 zu beweisen. F:\R \rightarrow \R erfüllt die Eigenschaften (i) – (iii) aus Satz 1.9. Dann gibt es ein W-Maß μ auf (\R, \mathfrak B(\R)), sodass \mu((-\infty,x])=F(x)\ \forall x \in \R \,.

Wir haben Satz 1.9 bewiesen, falls Satz 1.9 stetig ist.

  • \mathfrak D_i=(F(a_i), F(b_i)]
  • \mathfrak{D}=(F(a),F(b)]
  • \mathfrak{D}_i, \mathfrak D \subseteq (0,1]

F beliebig: \mu((a,b])=F((b))-F((a))\, d.h. μ auf \mathcal J_{\R} definiert. μ ist σ-additiv auf \mathcal J_\R^* (Hier haben wir vermutet, dass F stetig ist.) Dann: Satz von Carathéodory anwenden.

Lemma 1.10

Sei F:\R \rightarrow \R eine Funktion und erfülle die Eigenschaft (i) – (iii). Dann lässt sich F schreiben als F = c_1\cdot F_1+c_2\cdot F_2 wobei c_1 \ge 0, c1 + c2 = 1, F_1,\,F_2 erfüllen die Eigenschaften (i), (ii), (iii), F1 ist stetig und F2 hat die Form:

F_2(x) = \sum_{i=1}^{\infty}{\alpha_i\mathbb{I}_{[z_i,\infty]}(x)}

wobei \mathbb{I}_{[z_i,\infty]}(x) die Indikatorfunktion ist und definiert ist als:

\mathbb{I}_{[z_i,\infty]}(x)=\begin{cases} 1, & \text{wenn }x\text{ in }[z_i,\infty]\text{ liegt}\\ 0, & \text{ansonsten} \end{cases}

wobei z_i \in \R, \alpha_i \ge 0, \sum_{i=1}^{\infty}{\alpha_i=1}.

Weiter im Beweis 1.9

Sei F wir in Satz 1.9. Nach Lemma 1.10 kann F geschrieben werden als

F = c_1 F_1 + c_2 F_2 \, mit F_1, F_2, c_1, c_2 \, wie in Lemma 1.10.

Falls c_2 = 0 \,, schon erledigt. Also c_2 > 0 \,

Definiere \mu_2(A) = \sum_{i=1}^\infty \alpha_i \mathbb{I}_A(z_i) \, für alle A \subseteq \R \,

Dann ist \mu_2 \, ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (\R, P(\R)) \, (dann auch auf \mathfrak B(\R) \,)

  • \mu_2(\R) = \sum_{i=1}^\infty \alpha_i \mathbb{I}_\R(z_i) = \sum_{i=1}^\infty \alpha_i = 1 \,
  • \mu_2(A) \ge 0 \, für alle A \in P(\R) \,
  • A_j \in P(\R), j \in \N, A_j \, paarweise disjunkt 
 \sigma \,-Additivität

 \begin{align}
\mu_2(\bigcup_{j \in \N} A_j) 
& = \sum_{i=1}^\infty \alpha_i \mathbb{I}_{\bigcup_{j \in \N} A_j}(z_i) \\
& = \sum_{i=1}^\infty \alpha_i \sum_{j \in \N} \mathbb{I}_{A_j}(z_i) \\
& = \sum_{j \in \N} \sum_{i=1}^\infty \alpha_i \mathbb{I}_{A_j}(z_i) \\
& = \sum_{j \in \N} \mu_2(A_j)
\end{align} \,

 A, B \, disjunkt  \Rightarrow \mathbb{I}_{A \cup B}(z) = \mathbb{I}_A(z) + \mathbb{I}_B(z) \,

 \bigcup A_i, A_i \, paarweise, disjunkt  \Rightarrow \mathbb{I}_{\bigcup A_i }(z) = \sum \mathbb{I}_{A_i}(z) \,

\begin{align} \mu_2((-\infty, x]) & = \sum_{i=1}^{\infty}{\alpha_i\mathbb{I}_{(-\infty, x]}(z_i)} \\ & = \sum_{i=1}^{\infty}{\alpha_i\mathbb{I}_{[z_i,\infty]}(x)} \end{align}

Fall c1 = 0

c2 = 1, d.h. F = F2. Dann sei μ = μ2, und damit erledigt.

Fall c1 > 0,c2 > 0

F1 erfüllt Vorraussetzung von Satz 1.9 und ist stetig. Daher wissen wir schon, dass es ein W-Maß auf (\R, \mathcal{B}(\R)) gibt mit:

\mu_1((-\infty, x])=F_1(x)

Nach den gerade vorher überlegten Dingen zu F2 gibt es das vorhandene W-Maß μ2 auf (\R, \mathcal{B}(\R)) mit

\mu_2((-\infty, x])=F_2(x),

Definiere:

μ(A) = c1μ1(A) + c2μ2(A).
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