Wahrscheinlichkeitstheorie - 11.10.2007

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 \mathcal B ((0,1]) = \sigma(\mathcal J^\star ) = \sigma(\mathcal J) \,

 \mathcal B ((0,1]) \, enthält

*  \{x\} x \in (0,1) \,

*  [a,b] \subseteq (0,1]  \,

*  (a,b] \cup \{a\} \,

*  (a, b) \subseteq (0, 1] \,

* jede abzählbare Teilmenge

* das Komplemente jeder abzählbaren

* jede offene Menge in  (0,1]  \,

* jede abgeschlossene Menge

(ii) Man kann zeigen  \mathcal B ((0,1]) \subseteq P((0,1] ) \,, d.h. es gibt  A \subseteq (0,1]  \, mit  A \notin \mathcal B ((0,1]) \,

Alle Mengen, die "praktisch" auftauchen liegen in  \mathcal B ((0,1]) \,. Es ist schwierig eine zu konstruieren, die nicht drin liegt.

(iii) Frage: kann man  \lambda \,, die Gleichverteilung auf  (0,1]  \, auf die  P((0,1]) \, als Wahrscheinlichkeitsmaß ausdehnen  \Rightarrow  \, NEIN

Es gibt kein Wahrscheinlichkeitsmaß auf  P((0,1]) \,, welche den Intervallen ihre Länge zuordnet.