Wahrscheinlichkeitstheorie Übung - Beispiel 9

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9 (a)

Beliebiger Durchschnitt von  \sigma \, - Algebren ist  \sigma \,-Algebra.

Genauer: Seien  A_i, i \in I \ne \varnothing, \sigma\,-Algebren. Dann ist  \bigcap_{i \in I} A_i  \, eine  \sigma \,-Algebra


1.  \Omega \in A_i, \bigcap_{i \in I} A_i \supseteq \Omega \,
2.  A \in A_i \Rightarrow  A^c \in A_i \, weil  A_i \,  \sigma \,-Algebren.

 A \in (A_i \cap A_j) \Rightarrow A \in A_j, A \in A_i \Rightarrow A^c \in A_i, A^c \in A_j \Rightarrow A^c \in (A_i \cap A_j) \, \forall i, j \,
Reicht auch nur für A_i\, zu zeigen.
3. Zu zeigen:  B_k \in (A_i \cap A_j), \, \forall k \in \mathbb N \Rightarrow \bigcup_{k \in \mathbb N} B_k (A_i \cap A_j)\,

 \begin{align}
B_k \in (A_i \cap A_j), \, \forall k \in \mathbb N 
& \Rightarrow B_k \in A_i, B_k \in A_j \, \forall k \in \mathbb N \\
& \Rightarrow \bigcup_{k \in \mathbb N} B_k \in A_i, \bigcup_{k \in \mathbb N} B_k \in A_j \\
& \Rightarrow \bigcup_{k \in \mathbb N} B_k \in (A_i \cap A_j)
\end{align} \,

9 (b)

1.  \Omega \in A_i, \bigcap_{i \in I} A_i \supseteq \Omega \,
2.  A \in A_i \Rightarrow  A^c \in A_i \, weil  A_i \,  \sigma \,-Algebren.

 A \in (A_i \cap A_j) \Rightarrow A \in A_j, A \in A_i \Rightarrow A^c \in A_i, A^c \in A_j \Rightarrow A^c \in (A_i \cap A_j) \, \forall i, j \,
3. Zu zeigen:  B_k \in (A_i \cap A_j), \, \forall k \in \mathbb N \Rightarrow \bigcup_{k \in \mathbb N} B_k (A_i \cap A_j)\,

Gegenbeispiel:

 \mathcal A = \{ \varnothing, \{1\}, \{1\}^c, \mathbb R \,

 \mathcal B = \{ \varnothing, \{2\}, \{2\}^c, \mathbb R \,

Dann ist  \{1\} \cup \{2\} = \{1,2\} \notin \mathcal A \cup \mathcal B  \,