Wahrscheinlichkeitstheorie Übung - Beispiel 4

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Beispiel 4

 A \subseteq P(\Omega) \, abgeschlossen unter endlichen Vereinigungen

1.  A_i1, \ldots, A_n \in \mathcal A \Rightarrow A_1 \cup \ldots \cup A_n \in \mathcal A  \,

Wissen:  A, B \in \mathcal A \Rightarrow A \cup B \in \mathcal A  \,

Induktionsanfang:

 A_1, A_2, A_3 \in \mathcal A \,

 (A_1 \cup A_2) \cup A_3 \in \mathcal A  \,
Induktionsschritt:

 \begin{align}
A_1 \cup A_2 \cup \ldots A_n \in \mathcal A 
& = (A_1 \cup A_2) \cup (A_3 \cup A_4) \cup \ldots (A_{n-2} \cup A_{n-1}) \cup A_n \\
& = (A_1 \cup A_2) \cup (A_3 \cup A_4) \cup \ldots (A_{n-2} \cup A_{n-1})
\end{align}
\,

2.  A_1, \ldots, A_n \in \mathcal A \Rightarrow A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \ldots \cap A_n \in \mathcal A \,

 \Rightarrow A_1^c, A_2^c, \ldots, A_n^c \in \mathcal A \Rightarrow \bigcup_{i=1}^n A_i^c \in \mathcal A \Rightarrow 
(\bigcap_{i=1}^n A_j)^c \in \mathcal A = \bigcap_{i=1}^n A_i \in \mathcal A 
  \,

Anwendung von DeMorgan 


3. Differenzen:  A \setminus B \in \mathcal A  \,

 A, B \in \mathcal A \Rightarrow A^c, B^c \in \mathcal A  \,

 \Rightarrow A \cap B \in \mathcal A \Rightarrow A \cap B^c \in \mathcal A \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal A \,

4. Symmetrische Differenz:  A \vartriangle B \in \mathcal A  \,

 A \vartriangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \,