Wahrscheinlichkeitstheorie Übung - Beispiel 3

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 \mathcal A  \, ist  \sigma \,-Algebra, wenn

1.  \Omega \in \mathcal A  \,

2.  A \in \mathcal A \Rightarrow A^c \in \mathcal A  \,

3.  A_i \in \mathcal A \, i \in \mathbb N \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb N} A_i \in \mathcal A  \,

Beispiel 3 a

 \mathcal A = \{\varnothing, \Omega\} \,

2.  \varnothing^C \in \mathcal A  \, und  \Omega^c = \varnothing \,

3.  \varnothing \cup \Omega = \Omega \in \mathcal A \,


Beispiel 3 b

 \mathcal A = P(\Omega) \,

1.  \Omega \in P(\Omega) \,

2.  A \in P(\Omega) \Leftrightarrow A \subseteq \Omega \Rightarrow A^c \subseteq \Omega \Leftrightarrow^c \in P(\Omega) \,

3.  \bigcup_{i \in \mathbb N} A_i \in \mathcal A  \,

Beispiel 3 c

1.  \Omega^c = \varnothing \,

2.  A \in \mathcal A , (A^c)^c = \mathcal A  \,

3. nicht erfüllt, da nicht jede nicht endliche Menge  \mathcal A  \, enthalten.

   Gegenbespiel: 

 \Omega = \mathbb N \, A_n := \{2n \}\,
   
 \bigcup_{n=1}^\infty A_i \, ... Menge der geraden natürlichen Zahlen

 (\bigcup_{n=1}^\infty A_i)^c \, ... Menge der ungeraden natürlichen Zahlen
4. Gilt  A_i \in \mathcal A \Rightarrow \bigcup_{i=1}^n A_i \in \mathcal A \,

Beispiel 3 d

1.  \Omega \in \mathcal A  \,
 \Omega^c = \varnothing \,

2. wegen Angabe

3. wegen System aller (höchstens) abzählbarer Menge