Wahrscheinlichkeitstheorie Übung - Beispiel 2

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Beispiel 2 (a)

 A, B  \, offen  \Rightarrow A \cap B \, offen

 \Rightarrow A^c, B^c  \, abgeschlossen

 (A \cap B)^c  = A^c \cup B^c  \, abgeschlossen

 \Rightarrow A \cap B  \, offen

Von Florian:

Zu zeigen  A \cap B \, offen

Für  x \in A \cap B \Rightarrow x \in A, x \in B \Rightarrow \exists U_{\epsilon_A} (x) \subseteq A, U_{\epsilon_B} (x) \subseteq B,\,

Definiere  \epsilon := \min(\epsilon_A, \epsilon_B) \,

Dann gilt klarerweise:  u_\epsilon (x) \subseteq  U_{\epsilon_A} (x)  \, und  u_\epsilon (x) \subseteq  U_{\epsilon_B} (x)  \,

 \Rightarrow u_\epsilon(x) \subseteq A \cap B \,


Zu zeigen:  \sigma \,-Algebra,  A, B \in \mathcal A \Rightarrow A \cup B \in \mathcal A  \,

 A_1 := A \,

 A_2 := B \,

 A_3 := \varnothing \,

 A_j := \varnothing \,

 A_n := \varnothing, n \ge 3 \,

 \Rightarrow \bigcup_{n=1}^\infty A_n = A \cup B \cup \varnothing \cup \ldots \cup \varnothing \ldots = A \cup B \,

Beispiel 2 (b)

 A_i, i \in I \, abgeschlossene Teilmenge von  \mathbb R \Rightarrow A_i^c  \, offen

 (\bigcap_{i \in I} A_i)^c  \, ist offen

 \Rightarrow \bigcap_{i \in I} A_i \, abgeschlossen