Wahrscheinlichkeitstheorie Übung - Beispiel 2

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Beispiel 2 (a)

A, B \, offen \Rightarrow A \cap B \, offen

\Rightarrow A^c, B^c \, abgeschlossen

(A \cap B)^c = A^c \cup B^c \, abgeschlossen

\Rightarrow A \cap B \, offen

Von Florian:

Zu zeigen A \cap B \, offen

Für x \in A \cap B \Rightarrow x \in A, x \in B \Rightarrow \exists U_{\epsilon_A} (x) \subseteq A, U_{\epsilon_B} (x) \subseteq B,\,

Definiere \epsilon := \min(\epsilon_A, \epsilon_B) \,

Dann gilt klarerweise: u_\epsilon (x) \subseteq U_{\epsilon_A} (x) \, und u_\epsilon (x) \subseteq U_{\epsilon_B} (x) \,

\Rightarrow u_\epsilon(x) \subseteq A \cap B \,


Zu zeigen: \sigma \,-Algebra, A, B \in \mathcal A \Rightarrow A \cup B \in \mathcal A \,

A_1 := A \,

A_2 := B \,

A_3 := \varnothing \,

A_j := \varnothing \,

A_n := \varnothing, n \ge 3 \,

\Rightarrow \bigcup_{n=1}^\infty A_n = A \cup B \cup \varnothing \cup \ldots \cup \varnothing \ldots = A \cup B \,

Beispiel 2 (b)

A_i, i \in I \, abgeschlossene Teilmenge von \mathbb R \Rightarrow A_i^c \, offen

(\bigcap_{i \in I} A_i)^c \, ist offen

\Rightarrow \bigcap_{i \in I} A_i \, abgeschlossen

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