Wahrscheinlichkeitstheorie Übung - Beispiel 19

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Beispiel 19

Angabe

Sei [c, d], c < d, ein beschränktes Intervall in \R und a < b so gewählt, dass [c, d] \subseteq (a, b] gilt. Dann kann man auf [c, d] die folgenden beiden Mengensysteme betrachten:

\mathcal{B}_1 := \{A \cap [c, d] : A \in \mathcal{B}((a, b])\},
\mathcal{B}_2 := \mathcal{B}((c, d]) \cup \{A \cup \{c\} : A \in \mathcal{B}((c, d])\}.

Hier bezeichnet \mathcal{B}((a, b]) die Borel-\sigma-Algebra auf (a, b].

Zeige \mathcal{B}_2 = \mathcal{B}_1.

Lösung laut Übung

 B_1 := \{ A_n \cap [c,d] : A \in \mathcal B((a,b]) \} \,

 B_2 := \{ A \cup \{ c \} : A \in \mathcal B((c,d]) \} \cup B(c,d) \,


 B_1 := \{ A_n \cap [c,d] : A \in \mathcal B((a,b]) \} \cup \mathcal B ((c,d]) \,

Wissen:  \{ C \cap (c,d] : C \in \mathcal B ((a,b]) \} = \mathcal B ((c,d]) \, ist gleich Spur  \sigma- \, Algebra

Sei  B \in B_1 \,

1. Fall ok

2. Fall

 C \notin A \cap [c,d] \, ist es wieder in  B((c,d]) \,
 C \in A \cap [c,d] \Rightarrow B \in \{ A \cup \{c\} : A \in \mathcal B ((c,d]) \} \,

Anmerkung:  \Rightarrow A \cap [c,d] = \{c\} \cup (A \cap (c,d]) \in \mathcal B ((c,d]) \,

 J_{(c,d]}^\star \subseteq J_{(a,b]}^\star \,


Sei  B \in B_2 \,

 B = C \cup \{c\},  \, wobei  C \in \mathcal B ((c,d]) \,

 \Rightarrow \exists A \in \mathcal B ((a,b]): C = A \cap (c,d] \Rightarrow B = (A \cap (c,d]) \cup \{c\} = (A \cup \{c\}) \cap ( (c,d] \cup \{c\} ) = (A \cup \{c\}) \cap [c,d] \in \mathcal B ((a,b])\,