Wahrscheinlichkeitstheorie Übung - Beispiel 15

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(ii)  A_n \in \mathcal A , A_n \supseteq A_{n+1}, \forall n \in \N, A := \bigcup_{i = 1}^\infty A_n  \,

 P(A_n) \searrow  P(A) \,

 P(A_{n+1}) \le P(A_n) \,  [P(A_n)]_{n \in \N} \, monoton fallende und unten beschränkte Folge stimmt mit dem infimum überein.

 0 \le P(A) \le P(A_n) \,

 A = \bigcap_{i \in \N} A_n \Leftrightarrow A \in A_n \forall n \in \N \,

 B_n := A_n^c \Rightarrow B_1 \subseteq B_2 \subseteq \ldots  \, und  \bigcup_{n=1}^\infty B_n = \left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n \right)^c  \,

Aus (i) folgt:  P(B_n) \Rightarrow P( \bigcup_{n=1}^\infty B_n) \, als  P(A_n) = P(B_n^c) = 1 - P(B_n) \Rightarrow 1 - P(\bigcup_{n=1}^\infty B_n) = 1 - (1-P(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)) = P(\bigcup_{n=1}^\infty A_n) \,