Wahrscheinlichkeitstheorie Übung - Beispiel 13

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Beweise Theorem 1.2 aus der Vorlesung.

 P(\varnothing) = 0, P(\Omega) = 1, \Omega^c = \varnothing \,

(iv)  P(\Omega^c) = 1 - P(\Omega) \,

(ii)  A \subseteq B \Rightarrow P(A) \le P(B) \,

 P(B) = P(A \cup ( B \setminus A)) = P(A) + P(B \setminus A) \ge P(A) \,

(iii)  P(A) \le 1 \,.

Aus (i)  P(\varnothing) = 0, P(\Omega) = 1 \,
 0 \le P(A) \le 1 = P(\Omega)\,, weil  A \subseteq \Omega \,

(iv)  P(A^c) = 1 - P(A) \,

 \Omega = A \cup A^c, A \cap A^c = \varnothing \,

 P(\Omega) = 1 = P(A) + P(A^c) \Rightarrow P(A^c) = 1 - P(A) \,

(v)  P(\bigcup_{i \in I} A_i = \sum_{i \in I}  P(A_i) \,

 B_1 := A_1, B_2 := A_2, \ldots, B_n := A_n, B_{n+1} = \varnothing,  B_{n+2} = \varnothing, \ldots \Rightarrow \bigcup_{j=1}^\infty B_j = \bigcup_{j=1}^n A_j \,

d.h.  P(\bigcup_{j=1}^n A_j) = P(\bigcup_{j=1}^\infty B_j) = \sum_{j=1}^\infty P(B_j) = \sum_{j=1}^n P(B_j) = \sum_{j=1}^n P(A_j) \,

(vi)  P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) \,

Beweis mit Induktion

 n = 2, n+1 \,

 P(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i) = P(\bigcup_{i=1}^n A_i \cup A_{n+1}) \le P(\bigcup_{i=1}^n A_i) + P(A_{n+1}) \le \sum_{i=1}^n P(A_i) + P(A_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1} P(A_i) \,

(Vor  \le \, steht Induktionsvorraussetzung)

Für unendliche Vereinigung

 B_1 := A_1, B2 := A_2 \setminus B_1, B_3 := A_3 \setminus (B_1 \cup B_2), \ldots, B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{j=1}^n B_j \,

Dann gilt:  \bigcup_{j=1}^\infty B_j = \bigcup_{j=1}^\infty A_j \,

 \Rightarrow P(\bigcup_{j=1}^\infty A_j) = P(\bigcup_{j=1}^\infty B_j) = \sum_{j=1}^\infty P(B_j) \le \sum_{j=1}^\infty P(A_j) \,

 \le P(A_j) \, gilt wegen  B_j \subseteq A_j \,

(vii)  A \cup B = A \cup (B \setminus A) \,

 P(A \cup B) = P(A \cup (B \setminus A)) = P(A) + P(B \setminus A) \,

 B = (B \setminus A) \cup (A \cap B) \,

 P(B) = P(B \setminus A) + P(A \cap B) \,

 \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B \setminus A) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \,