Wahrscheinlichkeitstheorie Übung - Beispiel 13

From StatWiki

Beweise Theorem 1.2 aus der Vorlesung.

$P(\varnothing) = 0, P(\Omega) = 1, \Omega^c = \varnothing \,$

(iv) $P(\Omega^c) = 1 - P(\Omega) \,$

(ii) $A \subseteq B \Rightarrow P(A) \le P(B) \,$

$P(B) = P(A \cup ( B \setminus A)) = P(A) + P(B \setminus A) \ge P(A) \,$

(iii) $P(A) \le 1 \,$ .

Aus (i)

, weil

(iv) $P(A^c) = 1 - P(A) \,$

$\Omega = A \cup A^c, A \cap A^c = \varnothing \,$

$P(\Omega) = 1 = P(A) + P(A^c) \Rightarrow P(A^c) = 1 - P(A) \,$

(v) $P(\bigcup_{i \in I} A_i = \sum_{i \in I} P(A_i) \,$

$B_1 := A_1, B_2 := A_2, \ldots, B_n := A_n, B_{n+1} = \varnothing, B_{n+2} = \varnothing, \ldots \Rightarrow \bigcup_{j=1}^\infty B_j = \bigcup_{j=1}^n A_j \,$

d.h. $P(\bigcup_{j=1}^n A_j) = P(\bigcup_{j=1}^\infty B_j) = \sum_{j=1}^\infty P(B_j) = \sum_{j=1}^n P(B_j) = \sum_{j=1}^n P(A_j) \,$

(vi) $P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) \,$

Beweis mit Induktion

$n = 2, n+1 \,$

$P(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i) = P(\bigcup_{i=1}^n A_i \cup A_{n+1}) \le P(\bigcup_{i=1}^n A_i) + P(A_{n+1}) \le \sum_{i=1}^n P(A_i) + P(A_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1} P(A_i) \,$