Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 VO Kolloquium vom 20.6.2003

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Beispiel 1

Angenommen Y\, ist gleichverteilt auf dem Interval [-2,2]\,.

Beispiel 1a

Berechnen Sie die Varianz von Y\,. 

f_Y(y) = \frac{1}{2 - (-2)} = \frac{1}{4} \, für  -2 < y < 2 \,, sonst 0


  \operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) - \operatorname{E}(X)^2
 


  \operatorname{E}(X) = \int_{-2}^2 y \frac{1}{4} \, dy = y^2 \frac{1}{8} \Bigg|_{-2}^2 = \frac{4}{8} - \frac{4}{8} = 0
 


  \operatorname{E}(X^2) = \int_{-2}^2 y^2 \frac{1}{4} \, dy = y^3 \frac{1}{12} \Bigg|_{-2}^2 = \frac{8}{12} - \frac{-8}{12} = \frac{4}{3}
 


  \operatorname{Var}(X) = \frac{4}{3} - 0^2 = \frac{4}{3}

Beispiel 1b

Berechnen Sie die momentenerzeugende Funktion von Y\,. 

\operatorname{M}(t) = \operatorname{E}(e^{tx}) \,


  \operatorname{E}(e^{ty}) = \int_{-2}^2 e^{ty} \frac{1}{4} \, dy = \frac{1}{4} \frac{e^{ty}}{t} \Bigg|_{-2}^2 = 
  \frac{1}{4} \frac{e^{2t} - e^{-2t}}{t}

Beispiel 1c

Erklären Sie, wie man die Varianz mittels der momenterzeugenden Funktion berechnen kann. (Explizite Berechnung nicht erforderlich) 

Die zentralen Momente einer Zufallsvariable sind durch \operatorname{M}^{(r)}(0) = \operatorname{E}(X^{(r)}) \, gegeben.

\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) - \operatorname{E}(X)^2 = \operatorname{M}''(0) - \operatorname{M}'(0)^2 \,

Beispiel 2

Wir betrachten den zufälligen Vektor (X,Y)\, mit folgender Dichtefunktion

f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} 2 & \mathrm{falls} \, 0 < x < y < 1 \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases}

Beispiel 2a

Berechnen Sie die Randdichten von X\, und Y\,. 

f_X(x) = \int_{y=x}^1 2 \, dy = 2y \Big|_{y=x}^1 = 2 - 2x  für  0 < x < 1 \,

f_Y(y) = \int_{x=0}^y 2 \, dx = 2x \Big|_{x=0}^y = 2y  für  0 < y < 1 \,

Beispiel 2b

Berechnen Sie die (Rand-)Verteilungsfunktion von Y\,. 

F(Y \le y) = \int_0^y f_Y(y) \,dy = \int_0^y 2y \, dy = \frac{2y^2}{2} \Bigg|_0^y = y^2

Beispiel 2c

Sind X\, und Y\, unabhängig? (Begründung!) 

Wenn f_X(x) \cdot f_Y(y) = f_{X,Y}(x,y) \,, dann sind X\, und Y\, unabhängig.

 (2 - 2x) \cdot 2y \ne 2 \,

Beispiel 2d

Berechnen Sie \operatorname{E}(XY) \,. 


  \operatorname{E}(XY) = 
  \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^x x y 2 \, dy \, dx = 
  \int_{x=0}^1 x \frac{y^2}{2} 2 \Bigg|_{y=0}^x \, dx =
  \int_{x=0}^1 x^3 \, dx =
  \frac{x^4}{4} \Bigg|_{x=0}^1 =
  \frac{1}{4}

Beispiel 2e

Berechnen Sie die bedingte Dichte von Y\, gegeben X = \frac{3}{4}\, 

 
  f_{Y|X}(y|x) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)} = \frac{2}{2 (1-x) } = \frac{1}{1-x} \,
 

Und für X = \frac{3}{4}\,

 
  f_{Y|X}\left(y|\frac{3}{4}\right) = \frac{1}{1-\frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4
 

Auch die bedingte Dichte besitzt die Eigenschaften einer Dichte, daher muss das Integral über den jeweiligen
Definitionsbereich 1 ergeben.

 \int_{y=\frac{3}{4}}^1 4 \, dy = 4 y \Big|_{y=\frac{3}{4}}^1 = 4 - 4 \frac{3}{4} = 1

Beispiel 3

Beispiel 3a

Siehe Formelsammlung

Beispiel 3b

Erklären Sie mit Hilfe der Dichte aus a), warum zwei dimensional normalverteilte Zufallsgrößen unabhängig sind, wenn ihr Korrelationskoeffizeint \rho = 0 \, ist. 


  \begin{matrix} 
  \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_X} 
  \exp 
   \left[
    -\frac{1}{2} \left(\frac{x - \mu_X}{\sigma_X}\right)^2
   \right]
  \cdot 
  \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_Y} 
  \exp 
   \left[
    -\frac{1}{2} \left(\frac{y - \mu_Y}{\sigma_Y}\right)^2
   \right]
  & = &
  \frac{1}{2\pi \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1-0^2}}
  \exp
   \left[
    -\frac{1}{2 (1-0^2)}
    \left(
     \left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)^2 +
     \left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)^2 -
     2 \cdot 0 \cdot \left(\left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right) + \left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)\right)
    \right)
   \right] \\
  \frac{1}{2\pi \sigma_X \sigma_Y }
  \exp
   \left[
    -\frac{1}{2}
    \left(
     \left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)^2 +
     \left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)^2
    \right)
   \right]
  & = &   
  \frac{1}{2\pi \sigma_X \sigma_Y }
  \exp
   \left[
    -\frac{1}{2}
    \left(
     \left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)^2 +
     \left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)^2
    \right)
   \right]
  \end{matrix}

Beispiel 4

Erfinden Sie eine Dichtefunktion zu der die Varianz nicht existert, der Erwartungswert jedoch schon.

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