Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Prüfung vom 9.3.2001

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Beispiel 1

Sei X\, eine Zufallsvariable mit Dichte

 f(x) = \begin{cases} \cos x & \mathrm{fuer} \, - \frac \pi 2 \le x \le \frac \pi 2 \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases}

Bestimmen Sie die Konstante c\, sowie die Verteilungsfunktion von X\,.


   \int_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2} \cos x \, dx = 1
 


  \int_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2} \cos x \, dx =
  \sin x \Big|_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2} =
  1 - (-1) = 2
 

Daher c \cdot 2 = 1 \to c = \frac 1 2 

  F(x) = 
   \begin{cases} 
    0 & \mathrm{fuer} \, x < -\frac \pi 2 \\\\
    \displaystyle \int_{-\frac \pi 2}^x \frac 1 2 \cos x = \frac 1 2 \left( \sin x \Big|_{-\frac \pi 2}^x = \sin x - (-1) \right) = \frac 1 2 (\sin x + 1) \\\\
    1 & \mathrm{fuer} \, x > \frac \pi 2
   \end{cases}
 

Beispiel 2a

Sei F(x) = (1+x^2)^{-2} \, für x \in \mathbb R \,. Ist F\, die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable?


  \begin{matrix}
   \lim_{x \to \infty} F(x) & = & 1 \\\\
   \lim_{x \to \infty} \displaystyle \frac 1 {(1+x^2)^2} & \ne & 1 
  \end{matrix}
 

Daher ist F(x)\, keine Verteilungsfunktion.

Beispiel 2b

Sei F(x) = |x| (1+|x|)^{-1} \, für x \in \mathbb R \,. Ist F\, die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable?

Für x > 0 \, soll gelten

\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1+x} = 1 , es ist aber grösser 1.

Beispiel 4

Sei X\, eine Zufallsvariable mit \operatorname{E}(X) = 1\, und \operatorname{Var}(X) = 2\,. Bestimmen Sie den Erwartungswert von Y = a + bX + c(X-3)^2 \,