Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Prüfung vom 8.3.2002

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Beispiel 2

Sei X\, exponential verteilt. Bestimmen Sie den Erwartungswert von Y = (5X + 3)^2 \,


  \operatorname{E}(Y) = 
  \operatorname{E}[ (5X + 3)^2 ] =
  \operatorname{E}[ 25X^2 + 30X + 9 ] =
  25 \operatorname{E}(X^2) + 30 \operatorname{E}(X) + 9 
 

\operatorname{E}(X) = \frac 1 \lambda \,
\operatorname{Var}(X) = \frac 1 {\lambda^2} \,
Lösung 1

\frac 1 {\lambda^2} = \operatorname{E}(X^2) - \left(\frac 1 \lambda\right)^2 \to \operatorname{E}(X^2) = \frac 2{\lambda^2}\, 

\operatorname{E}(Y) = 25 \frac 2{\lambda^2} + 30 \frac{1}{\lambda} + 9 = \frac{50}{\lambda^2} + \frac{30}\lambda + 9 
Lösung 2


  \begin{matrix}
  \operatorname{E}(X^2) = 
  \displaystyle \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} \, dx = 
  \left(-e^{-\lambda x} x^2\right)\Big|_0^\infty  - \displaystyle \int_0^\infty -e^{-\lambda x} \, 2x \, dx =
  ( & \underbrace{\lim_{x \to \infty} -e^{-\lambda x} x^2} & - & \underbrace{-e^{-\lambda 0} 0^2} & ) - 
  \displaystyle \int_0^\infty - e^{-\lambda x} \, 2x \, dx = 
  \frac 2 \lambda & \underbrace{ \displaystyle \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} \, dx } & = 
  \frac 2{\lambda^2} \\
  & 0 & & 0 & & \operatorname{E}(X) = 
  \displaystyle \frac 1 \lambda 
  \end{matrix}
 

und dann wieder einsetzen wie oben.