Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Prüfung vom 7.7.2004

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Beispiel 1

Sei X \sim N(0,1) \,. Bestimmen Sie die Dichte von Y=e^{-2X} \, . 

Anwendung des Transformationssatzes


  g^{-1}(y) = -\frac{\ln y}{2} \,
 


  \frac{d}{dy} g^{-1}(y) = -\frac{1}{2 y}
 


  f_Y(y) = 
  f_X(-\frac{\ln y}{2}) \cdot \left| -\frac{1}{2 y} \right| =
  \frac{1}{\sqrt{2 \pi} 2 y} e^{- \displaystyle\frac{1}{2} \left( -\frac{\ln y}{2} \right)^2}
 

Grenzen beachten!!! y \in ]0,  \infty[ \,

Beispiel 2

Sei X\, exponential verteilt mit Parameter \lambda\,. Bestimmen Sie den Erwartungswert von Y = (4X-7)^2 \,. 


  \begin{matrix}
   \operatorname{E}(X) = 
   \displaystyle \int_{-\infty}^0 g(x) \cdot 0 \, dx  + \displaystyle \int_0^\infty (4x - 7)^2 \cdot f(x) \, dx =
   16 \displaystyle \int_0^\infty x^2 f(x) \, dx - 56 & \underbrace{\displaystyle \int_0^\infty x f(x) \, dx} & + 49 & \underbrace{\displaystyle \int_0^\infty f(x) \, dx} & = \\
   & \operatorname{E}(X) = \frac{1}{\lambda} & & 1 & 
  \end{matrix}
 


  = 16 \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} \, dx - 56 \frac{1}{\lambda} + 49 =
  16 \left( 
   -e^{-\lambda x} \cdot x^2 \Bigg|_0^\infty - \int_0^\infty -e^{-\lambda x} 2x \, dx 
  \right) - 56 \frac{1}{\lambda} + 49 = 
 

Nebenrechnung zu dem ersten bestimmten Integral


  \lim_{x \to \infty} -e^{-\lambda x} \cdot x^2 - (-e^{-\lambda 0} \cdot 0^2) = 0
 


  = 16 \left( 
  \int_0^\infty e^{-\lambda x} 2x \, dx 
  \right) - 56 \frac{1}{\lambda} + 49 =
  16 \left( 
   -\frac{e^{-\lambda x}}{\lambda} \cdot 2x \Bigg|_0^\infty - \int_0^\infty -\frac{e^{-\lambda x}}{\lambda} 2 \, dx 
  \right) - 56 \frac{1}{\lambda} + 49 = 
 


  = 32 \left( 
  \int_0^\infty \frac{e^{-\lambda x}}{\lambda} \, dx 
  \right) - 56 \frac{1}{\lambda} + 49 =
  32 \left( 
   -\frac{e^{-\lambda x}}{\lambda^2} \Bigg|_0^\infty 
  \right) - 56 \frac{1}{\lambda} + 49 = 
 


  = 32 \left( \lim_{x \to \infty} -\frac{e^{-\lambda x}}{\lambda^2} - \left(-\frac{e^{-\lambda 0}}{\lambda^2}\right) \right) - 56 \frac{1}{\lambda} + 49 =
  \frac{32}{\lambda^2} - 56 \frac{1}{\lambda} + 49

Beispiel 3

Sei X\, eine Zufallsvariable mit \operatorname{E}(X) = 10\, und \operatorname{E}(X^2) = 120\,.

Beispiel 3 - a

Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Y = 4X - 7 \,. 


  \operatorname{E}(Y) = \operatorname{E}(4X - 7) = 4 \operatorname{E}(X) - 7 = 4 \cdot 10 - 7 = 33
 


  \operatorname{Var}(Y) = \operatorname{Var}(4X - 7) = 16 \operatorname{Var}(X) = 16 \cdot \left(\operatorname{E}(X^2) - \operatorname{E}(X)^2 \right) = 
  16 \cdot (120 - 100) = 320

Beispiel 3 - b

Bestimmen Sie eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit ges Ereignisses \{|X-10| \ge 20 \}\, an, welcher kleiner als 1 ist. 

Tschebyscheffe Ungleichung P(|X-10| \ge 20) \le \frac{320}{20^2} = 0.8 \, ist eine obere Schranke.

Beispiel 4

Ist (X,Y) \, ein zweidimensionaler Zufallsvektor mit gemeinsamer Dichte

f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} c & \mathrm{ fuer } \, 0 < y < x < 1 \\ 0 & \mathrm{ sonst.} \end{cases}

Beispiel 4 - a

Bestimmen Sie c\,. 


  \int_{y=0}^1 \int_{x=y}^1 c \, dx \, dy =
  c \int_{y=0}^1 y |_{x=y}^1 \, dy = 
  c \int_{y=0}^1 1 - y \, dy =
  c \left(y - \frac{y^2}{2} \Bigg|_0^1\right) =
  \frac{c}{2}
 
 
 \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) \, dx \, dy = 1 

 \frac{c}{2} = 1 \to c = 2 \,

Beispiel 4 - b

Bestimmen sie die Randdichte f_X(x)\,. 

 f_X(x) = \int_0^x 2 \, dy = 2y \Bigg|_0^x = 2x   für 0 < x < 1 \,

Beispiel 4 - c

Bestimmen Sie die bedingte Dichte f_{Y|X}(y|x) \, 

f_{Y|X}(y|x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x} \, für 0 < x < 1 \,

Beispiel 4 - d

Von VO-Kolloquium 20.6.2003 Beispiel 2c

Sind X\, und Y\, unabhängig? (Begründung) 

f_Y(y) = \int_{x=y}^1 2 \, dx = x^2 \Big|_{x=y}^1 = 1 - y^2 

2 \ne 2x \cdot (1-y)^2 \,

Beispiel 4 - e

Von VO-Kolloquium 20.6.2003 Beispiel 2d

Berechnen Sie \operatorname{E}(XY) \,. 


  \operatorname{E}(XY) = 
  \int_{y=0}^1 \int_{x=y}^1 x y 2 \, dx \, dy =
  \int_{y=0}^1 x^2 y \Big|_{x=y}^1 \, dy =
  \int_{y=0}^1 y - y^3 \, dy =
  \frac{y^2}{2} - \frac{y^4}{4} \Bigg|_{y=0}^1 =
  \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 
  \frac{1}{4}

Beispiel 4 - f

Von VO-Kolloquium 20.6.2003 Beispiel 2e

Berechnen Sie die bedingte Dichte von Y\, gegeben X = \frac{3}{4} \,. 

Setzt man hier einfach in die bedingte Dichte ein? f_{Y|X}(y|\frac{3}{4}) = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \,
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