Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Prüfung vom 29.6.2006

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Beispiel 1

Sei X\, gleichverteilt auf dem Interval [0,2]\,.

Beispiel 1a

Bestimmen Sie den Erwartungswert von Y=(4X - 3)^2\,.

\operatorname{E}(X) = \frac{2 - 0}{2} = 1 \,


  \operatorname{E}(Y) = 
  \operatorname{E}((4X - 3)^2)) = 
  \operatorname{E}(16X^2 - 24X + 9) =
  16 \operatorname{E}(X^2) - 24 \operatorname{E}(X) + 9
 
 
  \operatorname{E}(X^2) = 
  \int_0^2 x^2 \cdot \frac{1}{2} \, dx = 
  \frac{x^3}{6} \Bigg|_0^2 =
  \frac{8}{6} = 
  \frac{4}{3}
 

Daher

\operatorname{E}(Y) = 16 \frac{4}{3} - 24 \cdot 1 + 9 = \frac{64 - 72 + 27}{3} = \frac{19}{3}\,

Beispiel 1b

Bestimmen Sie die Dichte von Z = X^2 + 1\,

g^{-1}(z) = \sqrt{z - 1} \,

\frac{d}{dz} g^{-1}(z) = \frac{1}{2 \sqrt{z - 1}} \,
f_z(z) = f_x(\sqrt{z - 1}) \Bigg| \frac{1}{2 \sqrt{z - 1}} \Bigg| = \frac{1}{2} \Bigg| \frac{1}{2 \sqrt{z - 1}} \Bigg| \,

in den Grenzen 0^2 + 1 < z < 2^2 + 1\, bzw. 1 < z < 5\,

Beispiel 2

Beispiel 2a

Seien X\, und Y\, unkorreliert mit \operatorname{E}(X) = \mu_x\, und \operatorname{E}(Y) = \mu_y\,. Bestimmen Sie \operatorname{E}(XY)\,.


  \begin{matrix}
   \operatorname{Cor}(X,Y) & = & 0 \\\\
   \displaystyle \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)} \sqrt{\operatorname{Var}(Y)}} & = & 0 \\\\
   \operatorname{Cov}(X,Y) & = & 0 \\\\
   \operatorname{E}(XY) - \operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) & = & 0 \\\\
   \operatorname{E}(XY) & = & \operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \\\\
   \operatorname{E}(XY) & = & \mu_x \mu_y
  \end{matrix}
 

Beispiel 2b

Sei (X,Y,U)\, ein Zufallsvektor, sodass Y = a + bX + U\, gilt mit \operatorname{E}(U) = 0\, und \operatorname{Cov}(X,U) = 0\,.

Bestimmen Sie die Beziehung zwischen \operatorname{E}(Y)\, und \operatorname{E}(X)\,.

Berechnen Sie \operatorname{Var}(Y)\, und \operatorname{Cov}(X,Y)\,

Zwischen \operatorname{E}(Y)\, und \operatorname{E}(X)\, besteht ein linearer Zusammenhang.
Die Varianz von Y\, kann wie folgt bestimmt werden.


  \begin{matrix}
   \operatorname{Cov}(X,U) & = & \operatorname{E}(XU) - \operatorname{E}(X)\operatorname{E}(U) \\\\
   0 & = & \operatorname{E}(XU) - \operatorname{E}(X)\operatorname{E}(U) \\\\
   \operatorname{E}(XU) & = & \operatorname{E}(X)\operatorname{E}(U) \\\\
   \operatorname{E}(XU) & = & \operatorname{E}(X) \cdot 0 \\\\
   \operatorname{E}(XU) & = & 0 
  \end{matrix}
 \,

 
Allgemein gilt: \operatorname{Var}(aX+bZ) =a^2 \operatorname{Var}(X) + b^2 \operatorname{Var}(Z) + 2ab\, \operatorname{Cov}(X, Z).


  \operatorname{Var}(Y) = 
  \operatorname{Var}(a + bX + U) =
  a^2 + b^2 \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(U) + 2b \operatorname{Cov}(X,U) =
  a^2 + b^2 \operatorname{Var}(X) + \operatorname{E}(U^2)
 
Die Kovarianz zwischen X\, und Y\, kann wie folgt bestimmt werden.


  \operatorname{Cov}(X,Y) = 
  \operatorname{E}(XY) - \operatorname{E}(X) \operatorname{E}(Y) = 
  \operatorname{E}(X (a + bX + U)) - \operatorname{E}(X) (a + b\operatorname{E}(X)) = 
 
 

  = a \operatorname{E}(X) + b \operatorname{E}(X^2) + \operatorname{E}(XU) - a\operatorname{E}(X) - b\operatorname{E}(X)^2 =
  b (\operatorname{E}(X^2) - \operatorname{E}(X)^2) = 
  b \operatorname{Var}(X)
 

Beispiel 3

Sei (X,Y)\, bivariat normalverteilt mit \mu_x = 1, \mu_y = 0, \sigma_x^2 = 2, \sigma_y^2 = 2, \rho = 1 \,.

Beispiel 3a

Bestimmen Sie \operatorname{E}(Z)\, wobei Z = X + Y\,.

Beispiel 3b

Bestimmen Sie die Varianz von V = X - Y\,.

Beispiel 3c

Bestimmen Sie die Korrelation zwischen X\, und Y\,

Beispiel 3d

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X \ge 1\,.

0.5 weil X\, symmetrisch um \mu_x\, ist.