Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Prüfung vom 15.4.2002

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Beispiel 1

Sei X\, Poissonverteilt mit Parameter \lambda\,.

Beispiel 1a

Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion an.

P(X=k) \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \, 

Beispiel 1b

Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X\,.


  \operatorname{E}(X) = 
  \sum_{k=0}^\infty k \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = 
  \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-1)!} e^{-\lambda} = 
  \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = 
  \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} = 
  \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} =
  \lambda
 
\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X^2) + \operatorname{E}(X)^2 \, 


  \operatorname{E}(X^2) =
  \sum_{k=0}^\infty k^2 \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = 
  e^{-\lambda} \lambda \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} k =
  e^{-\lambda} \lambda \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} (k+1) =
  e^{-\lambda} \lambda \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} k + \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} \right) =
 


  = e^{-\lambda} \lambda \left( \lambda e^\lambda + e^\lambda \right) =
  e^{-\lambda} \lambda e^\lambda (\lambda + 1) =
  \lambda^2 + \lambda
 

\operatorname{Var}(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda

Beispiel 1c

Bestimmen Sie den Erwartungswert von Y = (3X - 1)(X + 2) \,,


  \operatorname{E}(Y) =
  3\operatorname{E}(X^2) + 6\operatorname{E}(X) - \operatorname{E}(X) - 2 =
  3(\lambda^2 + \lambda) + 5\lambda - 2 =
  3\lambda^2 + 8 \lambda - 2
 

Beispiel 3

Sei X\, eine Zufallsvariable mit Dichte

 f(x) = \begin{cases} \frac{c}{x^4} & \mathrm{fuer} \, x \ge 1 \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases}

Bestimmen Sie den Wert von c\, sowie \operatorname{E}(X^2)\,.

 \int_1^\infty \frac{c}{x^4} \, dx = \frac{c}{-3 x^3} \Bigg|_1^\infty = \lim_{x \to \infty} \frac{c}{-3 x^3} - \frac{c}{-3 \cdot -1} = \frac{1}{3} c 

 \frac{1}{3} c = 1 \to c = 3 \,
 \operatorname{E}(X^2) = \int_1^\infty x^2 \frac{3}{x^4} \, dx = \int_1^\infty \frac{3}{x^2} \, dx = \frac{3}{-1 x} \Bigg|_1^\infty = \lim_{x \to \infty} - \frac{3}{x} - (- \frac{3}{1}) = 3 

Beispiel 4

Sei X \sim N(1,9) \,. Bestimmen Sie die Dichte von Y = e^{2X}\,.

f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp\left( -\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 \right)


  \begin{matrix}
  y & = & e^2x & \Big| \log \\\\
  \log y & = & 2 x \\\\
  x & = & \displaystyle \frac{\log y}{2}
  \end{matrix}
 

 \frac{d}{dy} x = \frac{1}{2y} \,

  f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} 3} \exp\left(-\frac{1}{2} \left( \frac{\frac{\log y}{2} - 1}{3} \right)^2 \right) \Bigg|\frac{1}{2y}\Bigg| = 
  \frac{1}{\sqrt{2\pi} 6 y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left( \frac{\log y - 2}{6} \right)^2 \right)
  für  y > 0 \,

Somit ist Y \sim \log N(2, 6^2) \, verteilt.

Beispiel 5

Sei (X,Y)\, ein zweidimensionaler Zufallsvektor mit Dichte

 f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} c & \mathrm{fuer} \, 1 < x < y < 4 \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases}

Beispiel 5a

Bestimmen Sie c\,.


  \begin{matrix}
   \displaystyle \int_{y=1}^4 \displaystyle \int_{x=1}^y c \, dx \, dy & = & 1 \\\\
   \displaystyle \int_{y=1}^4 c x \big|_{x=1}^y \, dy  & = & 1 \\\\
   \displaystyle \int_{y=1}^4 cy - c \, dy & = & 1 \\\\
   c \displaystyle \frac{y^2}{2} - c y \big|_{y=1}^4 & = & 1 \\\\
   8c - 4c - \left(\displaystyle \frac c 2 - c\right) & = & 1 \\\\
   \displaystyle \frac 9 2 c & = & 1 \\\\
   c & = & \displaystyle \frac 2 9
  \end{matrix}
 
Alternativ


  \int_{x=1}^4 \int_{y=x}^4 c \, dy \, dx = 
  \int_{x=1}^4 cy |_{y=x}^4 \, dx = 
  \int_{x=1}^4 4c - cx \, dx =
  4cx - c \frac{x^2} 2 \Bigg|_{x=1}^4 =
  16c - \frac{16c}2 - \left( 4c - \frac c 2 \right) =
  \frac{32c - 16c -4c +c} 2 =
  \frac 9 2 c
 

Beispiel 5b

Bestimmen Sie die Randdichten f_X(x),f_Y(y)\,

f_X(x) = \int_{y=x}^4 \frac 2 9 \, dy = \frac 2 9 y \bigg|_{y=x}^4 = \frac{8 - 2x} 9 für 1 < x < 4\,, 0 sonst.

f_Y(y) = \int_{x=1}^y \frac 1 9 \, dx = \frac 2 9 x \bigg|_{x=1}^y = \frac{2y - 2} 9 für 1 < y < 4\,, 0 sonst.