Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Prüfung vom 12.2.2004

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Beispiel 1

Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 - Zettel 1#Beispiel 2.1.3

Beispiel 3

Sei X\, eine Poissonverteilte Zufallsvariable mit Parameter \lambda\,.

P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \,

Beispiel 3a

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X > 0 \, ist.

P(X > 0) = 1 - P(X \le 0) = 1 - \frac{\lambda^0}{0!} e^{-\lambda} = 1 - e^{-\lambda}

Beispiel 3b

Für welchen Wert von \lambda\, ist die Wahrscheinlichkeit gleich \frac{1}{2}\,?


  \begin{matrix}
   P(X >0) & = & \frac{1}{2} \\\\
   1 - e^{-\lambda} & = & \frac{1}{2} \\\\
   e^{-\lambda} & = & \frac{1}{2} | \log \\\\
   -\lambda & = & \log\frac{1}{2} \\\\
   \lambda & = & -\log\frac{1}{2}
  \end{matrix}
 

Beispiel 3c

Für welchen Wert von \lambda\, ist P(X=1) = P(X=2)\,?


  \begin{matrix}
   P(X=1) & = & P(X=2) & \\\\
   \displaystyle \frac{\lambda^1}{1!} e^{-\lambda} & = & \displaystyle \frac{\lambda^2}{2!} e^{-\lambda} & \Bigg| : e^{-\lambda} \\\\
   \lambda & = & \displaystyle \frac{\lambda^2}{2} & \\\\
   \displaystyle \frac{\lambda^2}{2} - \lambda & = & 0 & \\\\
   \lambda & = & 2 &
  \end{matrix}