Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Prüfung ohne Datum

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Beispiel 3

Gegeben sei die Funktion


F(x) = 
\begin{cases}
 0   & \mathrm{falls} \, x < 0 \\
 x^2 & \mathrm{falls} \, 0 \le x < 1 \\
 1   & \mathrm{falls} \, x \ge 1
\end{cases}

Beispiel 3a

Zeigen Sie, daß F(x)\, eine Verteilungsfunktion ist; d.h. prüfen Sie nach, daß F(x)\, jene Eigenschaften besitzt, die für die Verteilungsfunktion charakteristisch sind.


 \begin{cases}
  \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 & \mathrm{falls} \, x < 0 \\
  \mbox{nicht fallend} & \mathrm{falls} \, 0 \le x < 1 \\
  \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 & \mathrm{falls} \, x \ge 1
 \end{cases}
 
Differenzierbar.

Beispiel 3b

Bestimmen Sie durch differenzieren die Dichte von F(x) \,.


 f(x) = \frac{d}{dx} F(x) =
 \begin{cases}
  0  & \mathrm{falls} \, x < 0 \\
  2x & \mathrm{falls} \, 0 \le x < 1 \\
  0  & \mathrm{falls} \, x \ge 1
 \end{cases}