Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 - Formeln und Sätze

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Ist f(x) \, eine Dichte?

  • f(x) \ge 0 \,
  • \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx = 1 \,

Randdichte

f_X(x) = \frac{d}{dx} F_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) \, dy

Bedingte Dichte

f_{Y|X}(y|x) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)} \qquad \forall x, f(x) > 0\,
f_{X,Y}(x,y) = f_{Y|X}(y|x) \cdot f_X(x) = f_{X|Y}(x|Y) f_Y(y) \,

Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit

f_{Y}(y) = \int_{x=-\infty}^\infty f_{Y|X}(x|y) \cdot f_X(x) \,

Unabhängigkeit

f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) \,

Transformationssatz

f_Y(y) = f_X(g^-1(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|

Erwartungswert

\operatorname{E}(aX + b) = a \operatorname{E}(X) + b \,

  \operatorname{E}(g(X_1,\ldots,X_n)) = 
   \int_{x_1=-\infty}^\infty \cdots \int_{x_n=-\infty}^\infty
   g(x_1,\ldots,x_n) f_{X_1,\ldots,X_n}(x_1,\ldots,x_n) \, dx_1, \ldots, \, dx_n

Varianz

\operatorname{Var}(aX + b) = a^2 \operatorname{Var}(X) \,
\operatorname{Var}(aX+bY) =a^2 \operatorname{Var}(X) + b^2 \operatorname{Var}(Y) + 2ab\, \operatorname{Cov}(X, Y).

Kovarianz

\operatorname{Cov}(X,Y) = 
 \operatorname{E}[(X-\operatorname{E}(X))(Y-\operatorname{E}(Y))] = 
 \operatorname{E}(X \cdot Y) - \operatorname{E}(X) \cdot \operatorname{E}(Y) \,

Korrelation

\operatorname{Cor}(X,Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)} \sqrt{\operatorname{Var}(Y)}} \,

Tschebyscheffe Ungleichung

P(|X-\mu| > t) \le \frac{\sigma^2}{t^2} \,
P(|X-\mu| \ge k \cdot \sigma) \le \frac{1}{k^2} \,

Verteilungen

Stetige Gleichverteilung

Dichte

f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & a < x < b \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases} \,

Erwartungswert

\operatorname{E}(X) = \frac{a + b}{2} \,

Varianz

\operatorname{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \,

Normalverteilung

Dichte

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{- \displaystyle\frac{1}{2} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2}

Bivariate Normalverteilung

Dichte:


f_{X,Y}(x,y)
=
\frac{1}{2 \pi \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1-\rho^2}}
\exp
\left(
 -\frac{1}{2 (1-\rho^2)}
 \left(
  \left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)^2 +
  \left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)^2 -
  2 \rho \left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right) \left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)
 \right)
\right)
mit -1 < \rho < 1 \,

Exponentialverteilung

Dichte

 f(x) = \begin{cases} 
                    \lambda e^{-\lambda x}, & \mbox{falls } x \ge 0 \\
                    0, & \mbox{falls } x < 0              
              \end{cases}

Verteilungsfunktion

 F(x) = \begin{cases} 
                    1 - \lambda e^{-\lambda x}, & \mbox{falls } x \ge 0 \\
                    0, & \mbox{falls } x < 0              
              \end{cases}

Erwartungswert

\operatorname{E}(X) = \frac{1}{\lambda} \,

Varianz

\operatorname{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} \,

Poissonverteilung

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

P_\lambda(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \, mit \lambda > 0, k = 0, 1, 2, \ldots \,

Erwartungswert und Varianz

\operatorname{E}(X) = \operatorname{Var}(X) = \lambda \,

Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

P(X=k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}

Erwartungswert

\operatorname{E}(X) = n p \,

Varianz

\operatorname{Var}(X) = n p (1-p) \,

Geometrische Verteilung

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

P(X=k) = p (1-p)^k\, für 0 < p < 1, k = 0, 1, 2, \ldots\,

Verteilungsfunktion:


  F(k) = 
  p \sum_{i=0}^\infty (1-p)^i = 
  p \frac{(1-p)^{n+1} - 1}{(1-p) - 1} = 
  p \frac{(1-p)^{n+1} - 1}{-p} =
  1 - (1-p)^{n+1}

Erwartungswert:

\operatorname{E}(X) = \frac{1-p}{p}\,

Varianz:

\operatorname{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}\,

Integrieren

Partielles Integrieren

 \int f \cdot g = F \cdot g - \int F \cdot g' \,

Hauptsatz der Integrationsrechnung

\frac{d}{dt} \int_{t=-\infty}^{z} f(t) \, dt = f(z)

Substitution

t=g(x) \,

\int f(x) \, dx = \int f(t) \frac{1}{t'} \, dt

Reihen

Geometrische Reihe

\sum_{k=0}^n a_0 \cdot q^k = a_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1-q} = a_0 \frac{q^{n+1} - 1}{q-1}

\sum_{k=0}^{\infty} a_0 \cdot q^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 \cdot q^k = \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = a_0\frac{1}{1-q} für |q|<1 \,.

Exponential Reihe

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

Binomial Reihe


(1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^k

für |x| < 1 \,, wobei

{\alpha \choose k} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}

en:Binomial_coefficient#Newton.27s_binomial_series ist bei Negativ Binomialverteilung von grossem Nutzen:

\frac{1}{(1-z)^{\alpha+1}} = \sum_{n=0}^{\infty}{\alpha+n\choose \alpha}z^n

Binomischer Lehrsatz

 (x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}