Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 - Übungstest

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media:Wahrscheinlichkeit II Abschlusstest Uebung Rubey.pdf

Beispiel 1

(X,Y)\, sind stetig gleichverteilt in der Region

\{(x,y): 0 \le y \le 1 - x^2, -1 \le x \le 1\}
  • Berechne die beiden Randdichten!
  • Sind X\, und Y\, unabhängig?
  • Berechne die bedingte Dichte von X\, gegeben Y\,.

Beispiel 2

Sei Y\, eine Zufallsvariable mit Dichte symmetrisch um 0, und S\, ein von Y\, unabhängige Zufallsvariable, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit die Werte -1 und +1 annimmt. Zeige, daß die Covarianz von SY\, und Y\, verschwindet, die beiden Zufallsvariablen aber nicht unabhängig voneinander sind. Hinweis: Um zu zeigen, daß die Zufallsvariablen nicht, unabhängig voneinander sind, berechne P(SY \le z, Y \le y) \,, P(SY \le z)\, und P(Y \le y)\, für y = z\,.

Beispiel 3

Mama, Papa, Sohn und Tocher spielen jeden Tag "Mensch ärgere dich nicht". Angenommen, die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen beträgt für jeden \frac{1}{4}\,, und die Spiele sind alle unabhängig voneinander. Gib eine Formel an, die die gemeinsame Verteilung der Anzahl der Spiele beschreibt, die jedes Familienmitglied nach zwei Wochen gewonnen hat. Begründe die Formel verbal.

Multinomial Verteilt.