Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 - Zettel 1

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Beispiel 1

Probability theory was used in a famous court case: People vs. Collins (cf. M.W. Gray, “Statistics and theLaw,”, Mathematics Magazine, vol. 56 (1983), pp. 67–81). In this case a purse was snatched from an elderlyperson in a Los Angeles suburb. A couple seen running from the scene were described as a black man with abeard and a mustache and a blond girl with hair in a ponytail. Witnesses said they drove off in a partly yellowcar. Malcolm and Janet Collins were arrested. He was black and though clean shaven when arrested had evidenceof recently having had a beard and a mustache. She was blond and usually wore her hair in a ponytail. Theydrove a partly yellow Lincoln. The prosecution called a professor of mathematics as a witness who suggestedthat a conservative set of probabilities for the characteristics noted by the witnesses would be as shown below:

man with mustache 1/4
girl with blond hair 1/3
girl with ponytail 1/10
black man with beard 1/10
interracial couple in a car 1/1000
partly yellow car 1/10

The prosecution then argued that the probability that all of these characteristics are met by a randomly chosencouple is the product of the probabilities or 1/12000000, which is very small. He claimed this was proof beyonda reasonable doubt that the defendants were guilty. The jury agreed and handed down a verdict of guilty ofsecond-degree robbery.

Hinweis: People vs. Collins . . . Das Volk gegen Collins; purse . . . Handtasche; to snatch . . . entreissen, stehlen;mustache . . . Oberlippenbart; interracial . . . von unterschiedlicher Hautfarbe; defendant . . . Angeklagter; verdict. . . Schuldspruch.

There are two bad mistakes in the argument of the prosecution:

Beispiel 1 (a)

Is the given probability of 1/12000000 likely to be correct? 

      Nein, da nicht unabhängig

Beispiel 1 (b)

A more devastating, but more subtle argument can be given as follows: Suppose, for example, there are 5000000 couples in the Los Angeles area and the probability that a randomly chosen couple fits the witnesses' description is 1/12000000. Then the probability that there are two such couples given that there is at least one is not at all small. Find this probability. (The California Suppreme Court overturned the initial guilty verdict.) 

      Wenn P(X) gleich der Wahrscheinlichkeit x-Paare in Los Angeles 
      zu finden ist, dann ist X Binomialverteilt mit 
      
      X \sim Binom_{n=5000000,p=\frac{1}{12000000}}
      P(X) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}
      
      Gesucht ist daher
      
      P(X=2|X \ge 1)
      
      Mit Hilfe des de:Satz von Bayes
      
      P(A|B) = P(A \cap B) P(B)
      
      kann umgeformt werden.
      
      P(X=2|X \ge 1) = \frac{P(X=2 \cap X \ge 1)}{P(X \ge 1)}
      
      Da P(X = 2)\, mehr als P(X \ge 1) einschränkt, kann
      
      \frac{P(X=2 \cap X \ge 1)}{P(X \ge 1)} = \frac{P(X=2)}{P(X \ge 1)}
      
      dargestellt werden.
      
      P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 -  {5000000 \choose 0} \frac{1}{12000000}^0 \left( 1-\frac{1}{12000000} \right )^{(5000000-1)}
      
      in R kann mit dbinom(2, 5000000, 1/12000000)/(1-dbinom(0, 5000000, 1/12000000)) 
      die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet (ca. 17%).


Kontinuierliche Verteilungen

Exponentialverteilung

Beispiel 2.1.2 - Exponential Verteilung

Zeigen Sie, daß für \lambda > 0\, die Funktion

f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & \mbox{falls } x \ge 0 \\ 0, & \mbox{falls } x < 0 \end{cases}

eine Dichte ist. 

  Allgemein muss Folgendes gezeigt werden
  
  1. f(x) \ge 0
  2. stückweise stetig (d.h. keine Sprungstellen)
  3. \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1
  
  \begin{matrix}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x} \, dx = & \underbrace{\int_{-\infty}^{0} 0 \, dx} & + \displaystyle \int_{0}^{\infty} \lambda  e^{-\lambda x} dx \\ & 0 \end{matrix}
  
  Der erste Teil fällt laut Angabe weg.
  
  
      \begin{matrix} 
       \displaystyle \int_{0}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x} =
       \lambda \frac{e^{-\lambda x}}{- \lambda} \Big |_{0}^{\infty} = 
       -e^{-\lambda x} \Big |_{0}^{\infty} = 
       & \underbrace{\lim_{x \to \infty} -e^{-\lambda x}} & - & \underbrace{(-e^{-\lambda \cdot 0})} \\
       & x \to 0 & & 1
      \end{matrix}

Beispiel 2.1.3

Überprüfen Sie die Eigenschaft der "Gedächnislosigkeit" der Exponentatialverteilung; Ist X \sim Exp(\lambda) \mbox{ fur } \lambda > 0\,, so ist P(X > z + x|X > z) = P(X > x)\,. 

  Nach dem de:Satz von Bayes wird transformiert
  
  \frac{P(X > z+x) \cap P(X > z)}{P(X>z)}
  
  Betrachtet man die Dichtefunktion der de:Exponentialverteilung, so sieht man das P(X > z+x) < P(X > x)\, ist. Daher
  
  \frac{P(X > z+x)}{P(X>z)} = \frac{1-P(X \le z+x)}{1-P(X < z)}
  
  Weil die Exponentialverteilung eine Dichte besitzt, gibt es keine Punktwahrscheinlichkeiten und somit 
  kann <\, mit \le\, vertauscht werden. Jetzt sind wir in der Lage die obigen Ausdrücke durch die 
  Verteilungsfunktion F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\, zu ersetzen.
  
  \frac{1-(1-e^{-\lambda z+x})}{1-(1-e^{-\lambda z})} = \frac{e^{-\lambda z+x}}{e^{-\lambda z}} = e^{-\lambda(z+x) + \lambda z} = e ^ {-\lambda x}

Beispiel 2.1.4

Suppose that the time (in hours) required to repair a car is an exponentially distributed random

Gamma-Verteilung

Für \alpha \ge 0 \, ist die so genannte Gamma-Funktion gegeben durch

\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x} \, dx.

siehe auch de:Gamma-Verteilung

Beispiel 2.2.5

Leiten Sie die folgenden Eigenschaften der Γ-Funktion her:

  • \Gamma(1) = 1 \,, und \Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha) \, für \alpha \ge 0 \,.
  • In welcher Beziehung stehen \Gamma(n) \, und n!\, für n \in \mathbb(N) \,? 
\Gamma(1) = \int_0^\infty x^{1-1} e^{-x} \, dx = \int_0^\infty 1 e^{-x} = \lim{x \to \infty} e^{-x} - e^0 = 1 

Mit Hilfe partieller Integration \int f \cdot g = F \cdot g - \int F \cdot g' kann auch die zweite Eigenschaft gezeigt werden.
 f = e^{-x} \, und  g = x^\alpha \, 

 \Gamma(\alpha + 1) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \, dx = 
 = -e^{-x} x^\alpha \Big |_0^\infty - \int_0^\infty \alpha x^{\alpha-1} - e^{-x} \, dx
 \begin{matrix} = & \underbrace{-e^{-x} x^\alpha \Big |_0^\infty} & + \alpha & \underbrace{\int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x} \, dx} \\
                         & 0 & & \Gamma(\alpha) \end{matrix} 

Das der erste Ausdruck gegen 0 geht, muss man noch mit Hilfe der de:Regel_von_L'Hospital überprüfen.
Kurze Zusammenfassung von L'Hospital. Wenn \lim_{x \to b} \frac{f'(x)}{g'(x)} \to c dann gilt auch \lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)} \to c

Leitet man nun  -e^{-x} x^\alpha \, \alpha \,-mal ab ergibt sich:

\lim_{x \to \infty} \frac{\alpha^\alpha}{(-1)^{\alpha} e^x}

Hier ist nun leicht ersichtlich das der Ausdruck gegen 0 geht.

Beziehung von \Gamma(n) \, und n!\,.

\Gamma(1) = 1\,
\Gamma(2) = 1 \cdot \Gamma(1) \,
\Gamma(3) = 2 \cdot \Gamma(2) = 2 \cdot 1 \cdot \Gamma(1) = \Gamma(2+1)\,
...

D.h. die Gamma-Funktion is die kontinuierliche Verallgemeinerung der Fakultät.

Beispiel 2.2.6

Zeigen Sie, daß für \lambda>0, \alpha>0 \, die Funktion

f(x) = \begin{cases}0 & \mathrm{falls} \, x <0, \\ \displaystyle \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x} & \mathrm{falls} \, x \ge 0 \end{cases}

eine Dichte ist. Die durch diese Dichte beschriebene Verteilung heißt Gamma-Verteilung mit Parametern \lambda\, und \alpha \,, kurz Gamma(λ,α). 

1. Überprüfe ob f(x) \ge 0 \,. Das stimmt einmal.
2. Überprüfe ob  \int_{-\infty}^\infty f(x) = 1 \,.

Für Dichten heisst das:

 \int_0^\infty \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x} = 1 

Mit Hilfe von Substitution kann das Integral transformiert werden:

 x = \frac{v}{\lambda} \,

Allgemein:  \int f(y) \, dy = \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx. Man sollte dabei nicht auf die innere Ableitung vergessen.

 \int_0^\infty \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x} = 
        \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^\infty \left( \frac{v}{\lambda} \right)^{\alpha-1} e^{-\lambda \frac{v}{\lambda}} \frac{1}{\lambda} \, dv = 

Wenn man zusammenfasst ergibt sich

= \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^\infty \frac{v^{\alpha-1}}{\lambda^\alpha} e^{-v} \, dv = 
\begin{matrix} = \displaystyle \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha) \lambda^\alpha} & \underbrace{\int_0^\infty v^{\alpha-1} e^{-v} \, dv}  & = \displaystyle\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha)} = 1 \\
     & \Gamma(\alpha) &
       \end{matrix}

Beispiel 2.2.7

Prüfen Sie mit Hilfe der entsprechenden Dichtefunktionen, daß gilt:

\mathrm{Gamma}(\lambda, 1) \equiv \mathrm{Exp}(\lambda) \,

D.h. also, daß die Gamma-Verteilung mit Parametern λ und 1 gleich der Exponential-Verteilung mit Parameter λ ist. 

In die Dichte der Gamma-Verteilung eingesetzt und der Dichte der Exponential-Verteilung gleichgesetzt.

 \begin{matrix}
   \displaystyle\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x} & = & \lambda e^{-\lambda x}
 \end{matrix}
 

Setzen wir nun \alpha = 1\, er gibt sich
 

 \begin{matrix}
   \displaystyle\frac{\lambda^1}{\Gamma(\alpha)} x^{1-1} e^{-\lambda x} & = & \lambda e^{-\lambda x} \\
   \lambda e^{-\lambda x} & = & \lambda e^{-\lambda x}
 \end{matrix}

Normalverteilung

Beispiel 2.3.8

Sei X \sim N(\mu, \sigma^2) \, mit \sigma^2 > 0 \,. Welcher Verteilung gehorcht \alpha X + \beta (\alpha, \beta \in \mathbb{R} \,)?

(Hinweis: Bestimmen Sie mit Hilfe des Tranformationssatzes die Dichte von \alpha X + \beta \,.) 

Transformationssatz: f_Y(y) = f_X(g^-1(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right| 
In Worten: Wenn die Zufallsvariable X mit einer Funktion g(x)\, transformiert werden soll (d.h. Y = g(X))
muss die Inverse der Funktion in die Dichte f_X(x)\, eingesetzt werden und mit der Ableitung der Inversen multipliziert werden.

Die Dichte einer normalverteilten Zufallsvariable X ist gegeben durch

f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{\displaystyle -\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}

Die Transformation is gegeben durch

 Y = g(X) = \alpha X + \beta \,

Um den Transformationssatz anzuwenden muss die Inverse von g(x)\,

g^{-1}(x) = \frac{x - \beta}{\alpha}

gebildet werden.


  \begin{matrix}
    f_Y(x) & = & \displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{\displaystyle -\frac{( \displaystyle\frac{x - \beta}{\alpha} - \mu)^2}{2 \sigma^2}} \left| \displaystyle \frac{1}{\alpha} \right| \\
           & = & \displaystyle \frac{1}{|\alpha| \sigma \sqrt{2 \pi}} 
                 e^{\displaystyle -\frac{1}{2} \left( \displaystyle \frac{\frac{x-\beta-\mu \alpha}{\alpha}}{\sigma} \right)^2} \\ 
           & = & \displaystyle \frac{1}{|\alpha| \sigma \sqrt{2 \pi}} 
                 e^{\displaystyle -\frac{1}{2} \left( \displaystyle \frac{x-\beta-\mu \alpha}{\alpha \sigma} \right)^2} \\
           & = & \displaystyle \frac{1}{|\alpha| \sigma \sqrt{2 \pi}} 
                 e^{\displaystyle -\frac{1}{2} \left( \displaystyle \frac{x-(\mu \alpha + \beta)}{\alpha \sigma} \right)^2}
  \end{matrix}
 

Nach dieser Umformung sollte schön ersichtlich sein das  \alpha X + \beta \sim N(\mu \alpha + \beta , \sigma^2 \alpha^2) \, für \alpha \ne 0
ist.

Beispiel 2.3.9

Es sei X \sim N(0,1) \,, und es sei \Phi \, die dazugehörige Verteilungsfunktion. Zeigen Sie, daß P(|X| > c) = 2 \Phi(-c) \, für c \ge 0 \, ist. 

Hauptbegründung: Symmetrie.


  \begin{matrix}
    P(|X| > c) & = & P(X > c) + P(X < -c) \\
               & = & 2 \Phi(-c)
  \end{matrix}

Beispiel 2.3.10

Es sei X \sim N(75,100) \,. Bestimmen Sie P(X \le 60) \, , P(70 < X \le 100) \,, sowie c, sodaß P(-c \le \frac{X-75}{10} \le c) = 0.95 . 

Wie in Beispiel 2.3.8 kann eine Normalverteilung sehr leicht transformiert werden. Da die Standard Normal-Verteilung tabelliert ist
möchten wir X \, transformieren, sodaß  g(X) = Y \sim N(0,1) \,.

\frac{X - 75}{10} \sim N(\frac{75}{10}-7.5, 100 \cdot \frac{1}{10^2}) = N(0,1)

P(X \le \frac{60-75}{10}) = 0.0668

D.h. man schaut -1.5 in der Tabelle der Standard Normal-Veteilung nach.

Genauso wie eben

P(70 < X \le 100) = P(X \le 100) - P(X \le 70) = 0.685 

Da X\, in P(-c \le \frac{X-75}{10} \le c) = 0.95  bereits standardisiert ist kann aus der Tabelle
\Phi^{-1}(0.95) = 1.96 \, raus gesucht werden.
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