UE Stochastic Processes - Midterm Test - SS 2005
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SP UE - Midterm Test / Sommersemester 2005
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Beispiel 1
Eine Markov-Kette sei durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
(1) Ist diese Markov-Kette irreduziebel?
Zustand 2 ist von Zustand 5 aus erreichbar - die Markovkette ist irreduzibel. Habe es auch im Matlab überprüft. Innerhalb von 3 Schritten kommt man überall hin.
(2) Klassifierziere die Zustände dieses Markov-Prozesses
Zustände 1, 3, 4, 4, 5 sind alle rekurrent.
(3) Bestimme die Periode für rekurrente Zustände
Die möglichen Schritte um in den Zustand 4 wieder zu kommen sind: 2, 4, 6, ... Der grösste gemeinsame Teiler davon ist 2 und somit ist die Periode 2. Dies gilt auch für die restlichen Zustände der Äquivalenz-Klasse (in diesem Fall für alle anderen Zustände, da alle rekurrent sind und somit zur selben Äquivalenz-Klasse gehören). Es gilt: Die Periode eines Zustands ist gleich der Periode aller anderen Zustände in derselben Äquivalenz-Klasse.
(4) Berechne die stationäre Verteilung des Prozesses
Scheinbar ist es so, dass wenn ein Prozess Periode 2 hat, funktioniert das mit den Eigenwerten nicht so richtig.
p = matrix(c(0,0,0,.5,.5,0,0,0,.4,.6,0,0,0,0,1,.8,0,.2,0,0,0,1,0,0,0),byrow=T,nrow=5) e = eigen(t(p)) # v = e$vectors[,which(e$values == 1)] # library(MASS) # fractions(v/sum(v)) e # p #
$values[1] -1.000000e+00+0.000000e+00i 1.000000e+00+0.000000e+00i [3] -1.510037e-06+0.000000e+00i 7.550183e-07+1.307716e-06i [5] 7.550183e-07-1.307716e-06i
$vectors
[,1] [,2] [,3] [,4][1,] -0.3218072+0i 0.3218072+0i 6.172134e-01+0i -6.172134e-01-0.000000e+00i [2,] -0.6033885+0i 0.6033885+0i -7.715167e-01+0i 7.715167e-01+0.000000e+00i [3,] -0.0804518+0i 0.0804518+0i 1.543033e-01+0i -1.543033e-01+0.000000e+00i [4,] 0.4022590+0i 0.4022590+0i -1.165019e-06+0i -5.825093e-07-1.008925e-06i [5,] 0.6033885+0i 0.6033885+0i 1.165019e-06+0i 5.825093e-07+1.008925e-06i
[,5][1,] -6.172134e-01+0.000000e+00i [2,] 7.715167e-01+0.000000e+00i [3,] -1.543033e-01-0.000000e+00i [4,] -5.825093e-07+1.008925e-06i [5,] 5.825093e-07-1.008925e-06i
(5) Finde den Ergodizitätskoeffizienten
Durch intensives anschauen kann man auch sehen, das Zeile 3 und 4 bzw. 3 und 5 den maximalen Abstand haben (nämlich 2). D.h.![]()
.5 * max(combn(5,2,function(x){ sum(abs(p[x[1],] - p[x[2],])) }))
#[1] 1
Beispiel 2
Seien
die Übergangsmatrizen ergodischer Ketten. Man zeige, dass der Ergodizitätskoeffizient
submultiplikativ ist, d.h.
![]()
![]()
Für das kleiner gleich wird die Kontraktionseigenschaft verwendet (siehe UE Stochastic Processes - Beispiel 11)
![]()

Für das kleiner gleich wird die Kontraktionseigenschaft verwendet (siehe
