UE Stochastic Processes - Beispiel 9

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Man berechne die Asymptotik des folgenden Prozesses:

Graph

Dazu berechnet man den Grenzwert von P^2, P^4, P^6, \ldots\, und P^3, P^5, P^7, \ldots\,

P \, ist 
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    0  1/2  1/2    0
[2,] 3/10    0    0 7/10
[3,]  2/5    0    0  3/5
[4,]    0  4/5  1/5    0
P^{(2)} \, ist 
REngine.php: <!--- Start of program --->
Error: object 'p' not found
Execution halted
in
p2 = p %*% p
library(MASS)
fractions(p2)
Der Prozess hat 2 Asymptotiken, für gerade \lim_{n \rightarrow \infty} (P^{(2)})^n\, und für ungerade \lim_{n \rightarrow \infty} P (P^{(2)})^n\,

Wie man schön sieht, kann man im Prozess P^{(2)} \, nicht zwischen den beiden Zustandsgruppen 1 und 4 bzw. 2 und 3 nicht wechseln.

Daher kann man die Asymptotik jeweils für diese Zustandsgruppen getrennt berechnen.

Für eine 2-Zustandsmodell mit P = \begin{bmatrix} 1 - \alpha & \alpha \\ \beta & 1 - \beta \end{bmatrix}\, ist die stationäre Verteilung \begin{bmatrix} q & 1 - q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q & 1 - q \end{bmatrix} P \, durch

\begin{bmatrix} q & 1 - q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\beta}{\alpha + \beta} & \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \end{bmatrix} , solange \alpha, \beta > 0\,

gegeben.

Hinweis aus multiplizieren und q\, ausdrücken.
 
Für gerade \lim_{n \rightarrow \infty} (P^{(2)})^n\, ist
REngine.php: <!--- Start of program --->
Error: object 'p2' not found
Execution halted
in
a14 = p2[1,4]
b14 = p2[4,1] 
a23 = p2[2,3]
b23 = p2[3,2]

q14 = b14/(a14+b14)
q23 = b23/(a23+b23)

pn = matrix(c(q14,0,0,1-q14,0,q23,1-q23,0,0,q23,1-q23,0,q14,0,0,1-q14),nrow=4,byrow=T)
library(MASS) 
fractions(pn)
Für ungerade \lim_{n \rightarrow \infty} P (P^{(2)})^n\, ist
REngine.php: <!--- Start of program --->
Error in .rat(x, cycles, max.denominator) : object 'p' not found
Calls: fractions -> .rat
Execution halted
in
 
library(MASS)
fractions(p %*% pn)
Frage: Ist die Asymptotik einfach nur die stationäre Verteilung in allen Zeilen?

Antwort (Bei Ulrike Schneider gefragt): Ja!