UE Stochastic Processes - Beispiel 9

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Man berechne die Asymptotik des folgenden Prozesses:

Graph

Dazu berechnet man den Grenzwert von P^2, P^4, P^6, \ldots\, und P^3, P^5, P^7, \ldots\, 

P \, ist 

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    0  1/2  1/2    0
[2,] 3/10    0    0 7/10
[3,]  2/5    0    0  3/5
[4,]    0  4/5  1/5    0

P^{(2)} \, ist 

     [,1]   [,2]   [,3]   [,4]  
[1,]   7/20      0      0  13/20
[2,]      0 71/100 29/100      0
[3,]      0  17/25   8/25      0
[4,]   8/25      0      0  17/25

Der Prozess hat 2 Asymptotiken, für gerade \lim_{n \rightarrow \infty} (P^{(2)})^n\, und für ungerade \lim_{n \rightarrow \infty} P (P^{(2)})^n\,

Wie man schön sieht, kann man im Prozess P^{(2)} \, nicht zwischen den beiden Zustandsgruppen 1 und 4 bzw. 2 und 3 nicht wechseln.

Daher kann man die Asymptotik jeweils für diese Zustandsgruppen getrennt berechnen.

Für eine 2-Zustandsmodell mit P = \begin{bmatrix} 1 - \alpha & \alpha \\ \beta & 1 - \beta \end{bmatrix}\, ist die stationäre Verteilung \begin{bmatrix} q & 1 - q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q & 1 - q \end{bmatrix} P \, durch

\begin{bmatrix} q & 1 - q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\beta}{\alpha + \beta} & \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \end{bmatrix} , solange \alpha, \beta > 0\,

gegeben.

Hinweis aus multiplizieren und q\, ausdrücken.
 
Für gerade \lim_{n \rightarrow \infty} (P^{(2)})^n\, ist

     [,1]  [,2]  [,3]  [,4] 
[1,] 32/97     0     0 65/97
[2,]     0 68/97 29/97     0
[3,]     0 68/97 29/97     0
[4,] 32/97     0     0 65/97

Für ungerade \lim_{n \rightarrow \infty} P (P^{(2)})^n\, ist

     [,1]  [,2]  [,3]  [,4] 
[1,]     0 68/97 29/97     0
[2,] 32/97     0     0 65/97
[3,] 32/97     0     0 65/97
[4,]     0 68/97 29/97     0

Frage: Ist die Asymptotik einfach nur die stationäre Verteilung in allen Zeilen?

Antwort (Bei Ulrike Schneider gefragt): Ja!
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