UE Stochastic Processes - Beispiel 8

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Seien


 P = \begin{pmatrix} 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \\ 0 & 1 / 2 & 1 / 2 \end{pmatrix},
 U = \begin{pmatrix} 1 / \sqrt 3 & 1 / \sqrt 2 & 1 / \sqrt 6 \\ 
                     1 / \sqrt 3 & 0 & -2 / \sqrt 3 \\
                     1 / \sqrt 3 & -1 / \sqrt 3 & 1 / \sqrt 6
     \end{pmatrix},
 D = \begin{pmatrix} 1 / 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 / 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 / 2 \end{pmatrix}.

Zeige, dass P = U D U^t\, und U^t U = I\, gilt, wobei I\, die Einheitsmatrix ist und U^t\, die Transponierte von U\, bezeichnet.

Verwende diese Ergebnisse, um die Potenzen von P\, zu berechnen.

P = U D U^t\,

[,1] [,2] [,3]
[1,]  0.5  0.5  0.0
[2,]  0.5  0.0  0.5
[3,]  0.0  0.5  0.5
U^t U = I\,
REngine.php: <!--- Start of program --->
Error: object 'u' not found
Execution halted
in

round(u%*%t(u), 2)

 U\, sind die Eigenvektoren und D\, sind die Eigenwerte.
 Das schöne anfolgendem ist, das man nur mehr die Diagonale Matrix potenzieren muss, d.h. man muss eigentlich nur
 die Elemente der Hauptdiagonale potenzieren.

 \begin{matrix} P^n = (U D U^t)^n = U D & \underbrace{U^t U} & D U^t \cdots U D U^t =  U D^n U^t \\ & I & \end{matrix}
Siehe en:Jordan normal form