UE Stochastic Processes - Beispiel 7

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Es Y_n\, das Maximum der ersten n Ausgänge einer Folge unabhängiger Würfelexperimente.

(Y_n \in \{1,2,3,4,5,6\} \,). Ist Y_n\, eine Markoff-Kette? Berechne die Übergangsmatrix P und deren Potenzen.

Ja, Y_n\, ist eine Markoff-Kette, weil die Wahrscheinlichkeit P(Y_n|Y_{n-1})\, nur von Y_{n-1}\, abhängt.

Wenn man die Potenzen der Matrix als Bruch anschreibt, sieht man das Muster viel besser.

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1/6  1/6  1/6  1/6  1/6  1/6
[2,]   0  1/3  1/6  1/6  1/6  1/6
[3,]   0    0  1/2  1/6  1/6  1/6
[4,]   0    0    0  2/3  1/6  1/6
[5,]   0    0    0    0  5/6  1/6
[6,]   0    0    0    0    0    1
     [,1]  [,2]  [,3]  [,4]  [,5]  [,6]
[1,]  1/36  1/12  5/36  7/36   1/4 11/36
[2,]     0   1/9  5/36  7/36   1/4 11/36
[3,]     0     0   1/4  7/36   1/4 11/36
[4,]     0     0     0   4/9   1/4 11/36
[5,]     0     0     0     0 25/36 11/36
[6,]     0     0     0     0     0     1
     [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]
[1,]   1/1296    5/432  65/1296 175/1296   41/144 671/1296
[2,]        0     1/81  65/1296 175/1296   41/144 671/1296
[3,]        0        0     1/16 175/1296   41/144 671/1296
[4,]        0        0        0    16/81   41/144 671/1296
[5,]        0        0        0        0 625/1296 671/1296
[6,]        0        0        0        0        0        1
Da in allen Elementen, ausser P_{6,6}\,, Werte kleiner 1 stehen, wandert alles in den Zustand 6.
Argumentation: Wenn ich im vorherigen Schritt eine 1 gewürfelt habe, habe ich
jeweils 1/6\, eine 1,2,3,...6 zu würfeln und somit das nächste Maximum.

Ist im vorherigen Schritt das Maximum 2, ist es aber so, dass ich entweder eine 1 oder 
eine 2 würfeln kann um 2 als neues Maximum zu bekommen. Daher hat P(Y_n=2|Y_{n-1}=2) = 2/6\,