UE Stochastic Processes - Beispiel 6

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In UE Stochastic Processes - Beispiel 4 bildet die Zahl Y_n \, der Unverletzten nach der n-ten Runde einen stochastischen Prozeß Y = (Y_n)\,. Ist Y\, eine Markoff-Kette?

Anleitung: Berechne die Wahrscheinlichkeiten P\{Y_4 = 0|Y_3 = 2, Y_2 = 3, Y_1 = 3\} \, und P\{Y_4 = 0|Y_3 = 2, Y_2 = 2, Y_1 = 3\} \, 


P\{Y_4 = 0,Y_3 = 2, Y_2 = 3, Y_1 = 3\} = 
\xrightarrow[\frac 1 9]{} ABC
\xrightarrow[\frac 1 9]{} ABC

\left \{

\begin{matrix}
\xrightarrow[\frac 2 9]{} AC 
\xrightarrow[\frac 2 9]{} 0 = \frac{4}{6561}
\\
\xrightarrow[\frac 2 9]{} BC  
\xrightarrow[\frac 1 6]{} 0 = \frac{2}{4374}
\end{matrix}

\right \}

= \frac{7}{6561}
\,


P\{Y_4 = 0,Y_3 = 2, Y_2 = 2, Y_1 = 3\} = 
\xrightarrow[\frac 1 9]{} ABC

\left \{

\begin{matrix}
\xrightarrow[\frac 2 9]{} AC 
\xrightarrow[\frac 2 9]{} AC 
\xrightarrow[\frac 2 9]{} 0 = \frac{8}{6561}
\\
\xrightarrow[\frac 2 9]{} BC  
\xrightarrow[\frac 1 3]{} BC  
\xrightarrow[\frac 1 6]{} 0 = \frac{2}{1458}
\end{matrix}

\right \}

= \frac{17}{6561}
\,

Mit Hilfe des de:Satz von Bayes:

P\{Y_4 = 0|Y_3 = 2, Y_2 = 3, Y_1 = 3\}  = \frac{P\{Y_4 = 0,Y_3 = 2, Y_2 = 3, Y_1 = 3\}}{P\{Y_3 = 2, Y_2 = 3, Y_1 = 3\}} = \frac{7}{36} \,

bzw.
 
P\{Y_4 = 0|Y_3 = 2, Y_2 = 2, Y_1 = 3\}  = \frac{P\{Y_4 = 0,Y_3 = 2, Y_2 = 2, Y_1 = 3\}}{P\{Y_3 = 2, Y_2 = 2, Y_1 = 3\}} = \frac{17}{90} \,

Antwort: Nein es ist keine Markoff-Kette, da die beiden berechneten Wahrscheinlichkeiten nicht nur von Y_3 \, abhängen, sondern auch vom Verlauf davor.
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