UE Stochastic Processes - Beispiel 5

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Wie groß ist in UE Stochastic Processes - Beispiel 4 die Wahrscheinlichkeit, daß der Kampf damit endet, daß A (bzw. B bzw. C) allein übrig bleibt?

Wahrscheinlichkeit für A 

ABC \xrightarrow{\frac 1 9} ABC \xrightarrow{\frac 1 9} \ldots \xrightarrow{\frac 1 9} ABC  \xrightarrow{\frac 2 9} 
 AC \xrightarrow{\frac 2 9} AC \xrightarrow{\frac 2 9} \ldots \xrightarrow{\frac 2 9} AC  \xrightarrow{\frac 4 9} A \,

\left(1 + \frac 1 9 + \left(\frac 1 9\right)^2 + \ldots\right) \frac 2 9 \left(1 + \frac 2 9 + \left(\frac 2 9\right)^2 + \ldots\right) \frac 4 9 = 
  \cfrac{1}{1-\frac 1 9} \cdot \frac 1 9 \cdot \cfrac{1}{1-\frac 2 9} \cdot \frac 4 9\,

Der 1 in der ersten Klammer stammt davon, dass man eventuell gar nicht nach ABC wiederkommt und somit 
auch den Weg  ABC  \xrightarrow{\frac 2 9} AC \xrightarrow{\frac 2 9} AC \xrightarrow{\frac 2 9} \ldots \xrightarrow{\frac 2 9} AC  \xrightarrow{\frac 4 9} A \, mit nimmt.


de:Geometrische Reihe 

\sum_{k=0}^{\infty} a_0 \cdot q^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 \cdot q^k = \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = a_0\frac{1}{1-q}  
für |q|<1 \,.


Es kann auch analog zu Bsp 13 mit Hilfe von Gleichungssystemen gerechnet werden:

 p_{1} \,  Absorptionswahrscheinlichkeit im Zustand A, wenn im Zustand AC gestartet wird

 p_{2} \, Absorptionswahrscheinlichkeit im Zustand A, wenn im Zustand ABC gestartet wird

 p_{1} = \frac 2 9 p_{1} + \frac 4 9 

 p_{2} = \frac 1 9 p_{2} + \frac 2 9 p_{1} 

 p_{2} \,  ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit für A

Wahrscheinlichkeit für A:   \frac 1 7 

Wahrscheinlichkeit für B:   \frac 1 8 

Wahrscheinlichkeit für C:   \frac {67} {16 \cdot 7} 

Wahrscheinlichkeit für 0:   \frac {15} {16 \cdot 7}