UE Stochastic Processes - Beispiel 4

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Drei Cowboys schießen aufeinander.

Cowboy A trifft sein Ziel mit Wahrscheinlichkeit \frac 2 3\,

Cowboy B trifft sein Ziel mit Wahrscheinlichkeit \frac 1 2\,

Cowboy C trifft sein Ziel mit Wahrscheinlichkeit \frac 1 3\,

Die Schüsse werden immer gleichzeitig abgefeuert. Sobald einer der Cowboys getroffen ist, schießt er nicht mehr.

Ist er unverletzt, so schießt er auf seinen stärksten Gegner (am Anfang schießt also A auf B, B auf A und C auf A).

Der Prozeß X_n\,, n die Zeit des Schußwechsels, besitzt folgende Zustände:


X_n = \begin{cases}
0 & \mbox{alle sind getroffen, keiner schiesst mehr} \\
A & \mbox{nur A ist unverletzt} \\ 
B & \mbox{nur B ist unverletzt} \\
C & \mbox{nur C ist unverletzt} \\
AC & \mbox{A und C sind unverletzt, B getroffen} \\
BC & \mbox{B und C sind unverletzt, A getroffen} \\
ABC & \mbox{alle drei sind unverletzt}
\end{cases}

Berechne die Übergangsmatrix dieser Markoff-Kette. Ist sie irreduzibel?


 P = \begin{bmatrix}
  & 0 & A & B & C & AC & BC & ABC \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
A & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
B & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
C & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
AC & 2/9 & 4/9 & 0 & 1/9 & 2/9 & 0 & 0 \\
BC & 1/6 & 0 & 1/3 & 1/6 & 0 & 1/3 & 0 \\
ABC & 0 & 0 & 0 & 4/9 & 2/9 & 2/9 & 1/9 
\end{bmatrix}


z.b. \begin{array}{rrrrl}
P(X_1 = C|X_0 = ABC) = 
& (A \rightarrow B) &     (B \rightarrow A) & \neg(C \rightarrow A) & + \\ 
& (A \rightarrow B) & \neg(B \rightarrow A) &     (C \rightarrow A) & + \\ 
& (A \rightarrow B) &     (B \rightarrow A) &     (C \rightarrow A) & = \\
& 2 / 3         & 1 / 2             & 2 / 3             & + \\
& 2 / 3         & 1 / 2             & 1 / 3             & + \\
& 2 / 3         & 1 / 2             & 1 / 3             & = 4 / 9
\end{array}
\,

Die Übergangsmatrix ist nicht irredizibel, weil Zustände existieren von denen man nicht mehr wegkommt.