UE Stochastic Processes - Beispiel 33

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Das Auftreten von Erdbeben in der Stadt A werde durch einen Poisson-Prozeß mit \lambda = 2 \, beschrieben. Der Schaden, den ein Erdbeben jeweils anrichtet, sei exponential verteilt mit Parameter \mu = 10^{-5}\, (Zeiteinheit 1 Jahr, Geldeinheit 1 Euro).

Berechne den mittleren Schaden pro Jahrzehnt.

Anzahl der Erdbeben: N(t) \sim \mbox{Poisson}(\lambda t) \,
Schaden bei einem Erdbeben: Y_i \sim \mbox{Exponential}(1/\mu = 10^5)\,
\sum_{j=1}^{N(t)} Y_j|N(t) \sim \mbox{Gamma} \, und \operatorname{E}[\mbox{Gamma}(\lambda = 1/\mu, n)] = \frac 1 \mu\,

\begin{align}
\operatorname{E}\left[ \sum_{i=1}^n Y_i | N(t) = n) \right] 
& = \sum_{i=1}^\infty \operatorname{E}\left[ \sum_{j=1}^{N(t)} Y_j|N(t) = i \right] P(N(t) = i) \\
& = \sum_{i=1}^\infty \frac i \mu \frac{(\lambda t)^i}{i!} e^{-(\lambda t)} \\
& = \frac{e^{-(\lambda t)}}{\mu} \sum_{i=1}^\infty \frac{(\lambda t)^i}{(i-1)!} \\
& = \frac{\lambda t}{\mu} e^{-(\lambda t)} \sum_{i=1}^\infty \frac{(\lambda t)^{(i-1)}}{(i-1)!} \\
& = \frac{\lambda t}{\mu} e^{-(\lambda t)} \sum_{i=0}^\infty \frac{(\lambda t)^i}{i!} \\
& = \frac{\lambda t}{\mu} e^{-(\lambda t)} e^{\lambda t} \\
& = \frac{\lambda t}{\mu} \qquad (\lambda = 2, t = 10) \\
& = 2 \cdot 10 \cdot 10^5 =  2 \cdot 10^6
\end{align}