UE Stochastic Processes - Beispiel 32

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Die eingebettete Markovkette: Wenn man in einer Markovkette mit stetiger Zeit nur die Sprünge, nicht aber die Verweildauern betrachtet, so entsteht die "eingebettete Markovkette" mit der Übergangsmatrix

 S(s_{ij}) = \begin{cases} \frac{q_{ij}}{-q_{ii}} \qquad i \ne j \\ 0 \qquad i = j \end{cases} \,

Sei  \pi \, die stationäre Verteilung der ursprünglichen Kette und  \nu \, jene der eingebetteten Kette, so gilt:

 \nu_i = c(-q_{ii}) \pi_i \,

für eine Konstante c.

 \sum_{i \ne j} q_{ij} = - q_{ii} \,

 \Lambda = \operatorname{diag}(-q_{ii}) = \operatorname{diag}(q_i) \, - Diagnoalmatrix
 
 \Lambda^{-1} = \operatorname{diag}\left(\frac 1 q_i\right) \,

Für  i = j \, gilt  1 + \frac{q_{ii}}{-q_{ii}} = 0 \,
 
\Rightarrow S = I + \Lambda^{-1} Q \Leftrightarrow \Lambda (S - I) = Q\,
Definition:  \pi P = \pi \, und  \pi^T Q = 0 \, TODO selbe stationäre verteilung?!!! stimmt glaub ich nicht.
\begin{array}{rcl}
\nu^T S & = & \nu^T  \\
\nu^T S - \nu^T & = & 0  \\
\nu^T(S - I) & = & 0 \\
\nu^T \Lambda^{-1} \Lambda (S - I) & = & 0 \\
\nu^T \Lambda^{-1} Q & = & 0 \\
\nu^T \Lambda^{-1} Q & = & c \pi^T Q \\
\nu^T \Lambda^{-1} & = & c \pi^T \\
\nu^T & = & c \pi^T \Lambda \\
\nu_i & = & c (-q_{ii}) \pi_i
\end{array}

Die Konstante c muss hinzugefügt werden, da 0 \cdot c = 0 \, und man somit nur weil 2 Ausdrücke 0 sind, diese trotzdem um ein c verschieden sein können.
Zwischendurch könnte man auch folgendes verwenden

\begin{array}{cl}
\underbrace{c v \Lambda^1} & Q = 0 \\
\pi & \\
\end{array}