UE Stochastic Processes - Beispiel 31

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Zeige: Löscht man in einem Poissonprozess (Intensität \lambda \,) jedes Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p \,, so entsteht ein Poissonprozess mit Intensität (1-p) \lambda \,. 

Wahrscheinlichkeitsfunktion Poissonprozess mit Intensität  \lambda \,:  P(N(t) = k) = e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^{k}}{k!} \,

e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}  \, 

M(t)\, ist die Anzahl der ausgewählten Ereignisse.  

Ganz zu begin wird der Satz der total Wahrscheinlichkeit verwendet.

 \begin{align}
P(M(t) = k)
& = \sum_{n=k}^\infty P(M(t) = k | N(t) = n) P(N(t) = n) \\
& = \sum_{n=k}^\infty {n \choose k} (1-p)^k p^{(n-k)} e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!} \\
& = e^{-\lambda t} \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{k! (n-k)!} (1-p)^k p^{(n-k)}  \frac{(\lambda t)^n}{n!} \\
& = e^{-\lambda t} \sum_{n=k}^\infty \frac{(1-p)^k p^{(n-k)} (\lambda t)^n}{k! (n-k)!}  \\
& = e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t (1-p))^{k}}{k!} \sum_{n=k}^\infty \frac{(p \lambda t)^{n-k}}{(n-k)!}  \\
& = e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t (1-p))^{k}}{k!} \sum_{n=0}^\infty \frac{(p \lambda t)^n}{n!}  \\
& = e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t (1-p))^{k}}{k!} e^{p \lambda t} \\
& = e^{p \lambda t -\lambda t} \frac{(\lambda t (1-p))^{k}}{k!} \\
& = e^{-\lambda t ( 1- p)} \frac{(\lambda t (1-p))^{k}}{k!} \\
\end{align} \,

Was ist der Unterschied im Ergebnis zwischen der zufälligen Löschung mit Wahrscheinlichkeit 0.5 und der systematischen Löschung jedes zweiten Ereignisses? 

Löschung mit Wahrscheinlichkeit 0.5:  P(N(t) = k) = e^{-\lambda t ( 1- p)} \frac{(\lambda t (1-p))^{k}}{k!} = e^{-\lambda \frac t 2} \frac{(\lambda \frac t 2)^{k}}{k!} \,

Von Georg zur systematischen Löschung:

 \begin{align}
P(M(t) = k) 
& = P(N(t) = 2k) + P(N(t) = 2k - 1) \\
& = e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^{2k}}{(2k)!} + e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^{2k - 1}}{(2k - 1)!} \\
& = e^{-\lambda t} \left( \frac{(\lambda t)^{2k}}{(2k)!} + \frac{(\lambda t)^{2k - 1}}{(2k - 1)!} \right)\\
\end{align}
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