UE Stochastic Processes - Beispiel 30

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A spider climbs up an infinitely high wall. During day i, the spider climbs up Y_i\, centimetres, where the Y_i\, are i.i.d. (independent, identically distributed random variables) with Poisson distribution with parameter \lambda g\, . During the night, the spider slips back 1 centimetre. Let X_n\, be the net height gained after n days and nights. Show that

P(X_n=0) = \frac{e^{-n \lambda} (n \lambda)^n}{n!}  \,
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung:  P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \,

Mit Induktion zeige wir das die Summe von n unabhängigen Poisson-verteilten Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X_n = k) = e^{-n \lambda} \frac{(n \lambda)^{k}}{k!} \, besitzt.

Anfang:  n = 1 \Rightarrow  P(X=k) = e^{-1 \lambda} \frac{(1 \lambda)^{k}}{k!} = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \,
 
Induktionsschritt:  Z = X_{n-1} + Y \, mit  X_{n-1} = \sum_{i=0}^{n-1} X_i \, und  X_i, Y \sim \mbox{Poisson}(\lambda) \,.

Anwendung von diskreter Faltung.
 
Argumentation der Grenzen:  P(X = k) \, ist nur für positive k definiert, daher auch nur  k = 0, 1, \ldots z \,
 
 \begin{align}
f_Z(z) 
& = \sum_{k=0}^{z} f_{X_n}(k) f_Y(z-k) \\
& = \sum_{k=0}^{z}  e^{-(n-1) \lambda } \frac{((n-1) \lambda )^k}{k!}  e^{- \lambda } \frac{(\lambda )^{(z - k)}}{(z - k)!} \\

& = e^{- n \lambda}  \sum_{k=0}^{z}  \frac{((n-1)\lambda )^k}{k!} \frac{(\lambda )^{(z - k)}}{(z - k)!} \\
& = e^{- n \lambda} \frac{1}{z!} \sum_{k=0}^{z} \frac{z!}{k! (z-k)! }  ((n-1) \lambda )^k(\lambda )^{(z - k)} \\
& = e^{- n \lambda} \frac{1}{z!} \sum_{k=0}^{z} {z \choose k} ((n-1)\lambda )^k(\lambda )^{(z - k)} \\
& = e^{- n \lambda} \frac{ ( (n-1) \lambda + \lambda))^z}{z!} \\
& = e^{- n \lambda} \frac{ ( n \lambda))^z}{z!} \\
\end{align} \,
 \sum_{i=1}^n Y_i = \mbox{Poisson}(n, \lambda) \,

X_n = \left( \sum_{i=1}^n Y_i \right) - n \,

\begin{align}
P(X_n  = 0) 
& = P\left[\left( \sum_{i=1}^n Y_i \right) - n = 0\right] \\
& = P\left[\sum_{i=1}^n Y_i = n\right] \\
& = \frac{e^{-n \lambda} (n \lambda)^n}{n!}
\end{align}