UE Stochastic Processes - Beispiel 29

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Zeige: Die Summe zweier unabhängiger Poisson-Prozesse mit Intensitäten \lambda\, und \mu\, ist ein Poisson- Prozeß mit Intensität \lambda + \mu\,.

Possionprozess:  P(N(t) = k) = e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^k}{k!}  \,

Diskrete Faltung:  Z = X + Y \Rightarrow f_Z(z) = \sum_x f_X(x) g_Y(z - x) \,

Binomischer Lehrsatz:  (x+z)^n \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k y^{n-k} \,
 {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}  \,

 Z = X + Y \, mit  X \sim \mbox{Poisson Prozess}(\lambda, t) \, und  Y \sim \mbox{Poisson Prozess}(\mu, t) \,
`
Argumentation der Grenzen:  f_X(x) \, ist nur für positive x definiert, daher auch nur  x = 0, 1, \ldots z \,

 \begin{align}
f_Z(z) 
& = \sum_{k=0}^{z} f_X(k) f_Y(z-k) \\
& = \sum_{k=0}^{z}  e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^k}{k!}  e^{-\mu t} \frac{(\mu t)^{(z - k)}}{(z - k)!} \\
& = e^{-t (\lambda + \mu)}  \sum_{k=0}^{z}  \frac{(\lambda t)^k}{k!} \frac{(\mu t)^{(z - k)}}{(z - k)!} \\
& = e^{-t (\lambda + \mu)} \frac{1}{z!} \sum_{k=0}^{z} \frac{z!}{k! (z-k)! }  (\lambda t)^k(\mu t)^{(z - k)} \\
& = e^{-t (\lambda + \mu)} \frac{1}{z!} \sum_{k=0}^{z} {z \choose k} (\lambda t)^k(\mu t)^{(z - k)} \\
& = e^{-t (\lambda + \mu)} \frac{ (t (\lambda + \mu))^z}{z!} \\
\end{align} \,