UE Stochastic Processes - Beispiel 26

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Aus dem vorigen Beispiel Schliesse man: Die Anzahl der Ereignisse eines Poisson Prozesses im Intervall [s, t]\, folgt einer Poissonverteilung

 P(\Pi(t) - \Pi(s) = k) = e^{-\lambda (t-s)} \frac{(\lambda (t-s))^k}{k!}

 T_i \, interevent times

	S_i \, event times

	N(t) \, counting process (Anzahl d. Ereignisse im Interval [0; t] \,

Zu zeigen:  S_i \sim \mbox{Erlang}(\lambda, i) \Rightarrow N(t) \sim \mbox{Poisson}(t \lambda) \,

 \begin{align}
P(N(t) = n) 
& = P(N(t) \ge n) - P(N(t) \ge n + 1) \\
& = P(S_n \le t ) - P(S_{n+1} \le t) \qquad \qquad \qquad \Big| \mbox{weil } N(t) \ge n \Leftrightarrow S_n \le t \\
& = F_{S_n}(t) - F_{S_{n+1}}(t) \\
& = 1 - \sum_{k=0}^{n-1} e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^k}{k!} - \left(1 - \sum_{k=0}^{n} e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^k}{k!} \right) \\
& = e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!} \\
& = f_{\mbox{Poisson}(\lambda t)}(n)
\end{align} \,