UE Stochastic Processes - Beispiel 2

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N schwarze und N weiße Kugeln werden in zwei Urnen aufgeteilt, sodaß jede Urne N Kugeln enthält.

In jedem Schritt wird beiden Urnen je eine Kugel entnommen und die Kugeln werden ausgetauscht.

Der Zustand des Systems ist die Anzahl der weißen Kugeln in der ersten Urne. Berechne die Übergangwahrscheinlichkeiten.

i ... aktueller Zustand des Systems


P = \begin{bmatrix}
0         & 1 & 0             & 0 & 0 & \ldots \\
(\frac 1 N)^2 & 2\frac{1}{N}\frac{N-1}{N} & (\frac{N-1}{N})^2 & 0 & 0 & \ldots \\
0 & (\frac 2 N)^2 & 2\frac{2}{N}\frac{N-2}{N} & (\frac{N-2}{N})^2 & 0 & \ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots 
\end{bmatrix}


D.h.  p_{i,i} = 2\frac{i}{N}\frac{N-i}{N}, für  0 \le i \le N 

 p_{i,i-1} = \left(\frac{i}{N} \right)^2,         für  1 \le i \le N   
 p_{i,i+1} = \left(\frac{N-i}{N} \right)^2 \ ,    für  0 \le i < N  
sonst 0.
Für die ganz langsamen unter uns (e.g. mich): p_{1,0}\, Ich erwisch genau die eine Weisse \frac 1 N\, und genau die eine Schwarze \frac 1 N\,.