UE Stochastic Processes - Beispiel 17

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Man berechne die stationäre Verteilung von

Graph


P = 
 
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 &\ldots \\
1-p & 0 & p & 0 & 0 & 0 &\ldots \\
0 & 1-p & 0 & p & 0 & 0 &\ldots \\
0 & 0 & 1-p & 0 & p & 0 &\ldots \\
\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\
\end{pmatrix}


\pi P = \pi \Leftrightarrow \pi (P - I) = 0\,

Gleichungen: 

\begin{align}
-p_0 + p_1(1-p) = 0 & \Rightarrow p_0 = p_1(1-p) \\
p_0 - p_1 + p_2 (1-p) = 0   & \Rightarrow p_2 = p_1 \left(\frac{p}{1-p}\right)^1 \\
-p_2 + p \cdot p_1 + p_3 (1-p) = 0 & \Rightarrow p_3 = p_1 \left(\frac{p}{1-p}\right)^2 \\
\vdots &
\end{align}

\sum_{i=0}^{\infty} p_i = 1 \,

 p_0 + p_1 + p_2 + \ldots = 1 \,

 p_1(1-p) + \left(p_1 + p_1 \left(\frac{p}{1-p}\right)^1 + p_1 \left(\frac{p}{1-p}\right)^2 + \ldots \right)= 1

 p_1(1-p) + p_1 \left(1 + \left(\frac{p}{1-p}\right)^1 + \left(\frac{p}{1-p}\right)^2 + \ldots \right)= 1

Der hintere Term ist eine de:Geometrische Reihe.

 p_1 (1-p) + p_1 \cfrac{1}{1 - \cfrac{p}{1-p}} = 1\,

p_1 = \frac{1-2p}{2 (1-p)^2} \,

\pi = \left( \frac{1-2p}{2 (1-p)}, \left(\frac{p}{1-p}\right)^{0}\frac{1-2p}{2 (1-p)^2}, \left(\frac{p}{1-p}\right)^{1}\frac{1-2p}{2 (1-p)^2}, \ldots, \left(\frac{p}{1-p}\right)^{k} \frac{1-2p}{2 (1-p)^2}, \ldots \right)

Achtung ich bin mir bei den Potenzen von \frac{p}{1-p}\, unsicher.

Richtig; nun sollte es aber mit obigen Gleichungen übereinstimmen. Die Potenz k kann bleiben, da k sowieso gegen unendlich strebt.