UE Stochastic Processes - Beispiel 16

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Gibt es eine Markovkette mit genau zwei verschiedenen stationären Verteilungen?

In VO gemacht: Na entweder eindeutig oder unendlich viele.

Wenn der Prozess aus einer Klasse besteht, ist die stationäre Verteilung eindeutig.

Besteht der Prozess aus 2 oder mehr Klassen, ist die stationäre Verteilung nicht eindeutig. 

Bsp.: 

 P = 
\begin{pmatrix}
0&1&0&0\\
1&0&0&0\\
0&0&0&1\\
0&0&1&0
\end{pmatrix}  
 

> p=matrix(c(0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0),byrow=T,nrow=4)
>  e=eigen(t(p))
>  v=e$vectors[,which(e$values==1)]
>
>  library(MASS)
>
>  fractions(t(sweep(v,2,colSums(v),"/")))
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]   0    0  1/2  1/2
[2,] 1/2  1/2    0    0
Achtung es ist auch jede linear Kombination der beiden stationären Verteilungen eindeutig, solange \sum_{i=1}^n \pi_i = 1\,.
Peter hat es wie folgt gezeigt:

Annahme: \pi_1 = \pi_1 P\, und \pi_2 = \pi_2 P\,

Jetzt werder die Gleichungen addiert und auf beiden Seiten halbiert um wieder eine Verteilung zu bekommen.

\frac 1 2 (\pi_1 + \pi_2) P = \frac{\pi_1 + \pi_2}{2} \,

Jetzt hat man bereits einen 3ten Vektor nämlich \frac 1 2 (\pi_1 + \pi_2)\,.