UE Stochastic Processes - Beispiel 11

From StatWiki
Jump to: navigation, search

Für \mu\, und \nu\, wie in UE Stochastic Processes - Beispiel 10 und Übergangsmatrix P\, zeige man die Kontraktionseigenschaft

|| \mu P - \nu P||_1 \le \rho_0(P) || \mu - \nu||_1 

Anleitung: Wenn \mu\, und \nu\, Einheitsvektoren e_i\, bzw. e_j\, sind, so gilt die Ungleichung nach Definition.

Mit m_i = \min(\mu_i, \nu_i) \, und

\gamma_{i,j} = \frac{2 (\mu_i - m_i) (\nu_j - m_j)}{|| \mu - \nu||_1} \,

gilt dann

\mu - \nu = \sum_{i,j=1}^n \gamma_{i,j}(e_i - e_j) \,

und

\sum_{i,j=1}^n \gamma_{i,j} = \frac 1 2 || \mu - \nu||_1 


\begin{align}
||\mu P - \nu P||_1 
& = ||(\mu - \nu) P||_1 \\
& = ||\sum_{i,j=1}^n \gamma_{i,j}(e_i - e_j) P||_1 \\
& \le \left(\sum_{i,j=1}^n \gamma_{i,j} \right) \left( \sup_{i,j} ||(e_i - e_j) P||_1 \right)\\
& = \left(\frac 1 2 || \mu - \nu ||_1\right) \left(2 \rho_0(P)\right) \\
& = || \mu - \nu ||_1 \rho_0(P)
\end{align} 

Der Übergang von gleich auf kleiner-gleich ist deswegen ok, weil nun für jede Kombination immer die größte Differenz genommen wird.

Definition des Ergodenkoeffizienten \rho_0(P) = \frac 1 2 \sup_{i,j} || \mu_i - \nu_j ||_1 \,
Es sind auch die beiden Gleichungen aus der Anleitung zu zeigen:
 \begin{align}
\sum_{i,j=1}^n \gamma_{i,j} 
& = \sum_{i,j=1}^n \frac{2 (\mu_i - m_i) (\nu_j - m_j)}{|| \mu - \nu||_1} \\
& = \frac{1}{2 || \mu - \nu||_1} \left( 2 \sum_{i=1}^n (\mu_i - m_i) 2 \sum_{j=1}^n (\nu_j - m_j) \right) \\
& = \frac{1}{2 || \mu - \nu||_1} \left[ 2 \left ( \sum_{i=1}^n \mu_i - \sum_{i=1}^n m_i \right) 2 \left( \sum_{j=1}^n \nu_j - \sum_{j=1}^n m_j \right) \right] \\
& = \frac{1}{2 || \mu - \nu||_1} \left[ 2 \left ( 1 - \sum_{i=1}^n m_i \right) 2 \left( 1 - \sum_{j=1}^n m_j \right) \right] \xrightarrow{\mbox{Beispiel 10}} \\
& = \frac{|| \mu - \nu||_1 || \mu - \nu||_1}{2 || \mu - \nu||_1} \\
& = \frac 1 2 || \mu - \nu||_1
\end{align}
\mu: \sum_{i=1}^n \gamma_{i,j} e_i \,

\nu: \sum_{i=1}^n \gamma_{i,j} e_j \,

\begin{align}
\frac{ \sum_{i=1}^n 2 (\mu_i - m_i) (\nu_j - m_j) e_i}{|| \mu - \nu ||_1} 
& = \frac{ \sum_{i=1}^n (\mu_i - m_i) e_i 2 \sum_{i=1}^n (\nu_j - m_j)}{|| \mu - \nu ||_1} \\
& = \frac{ \sum_{i=1}^n (\mu_i - m_i) e_i || \mu - \nu||_1 }{|| \mu - \nu ||_1} \\
& = \sum_{i=1}^n (\mu_i - m_i) e_i \\
& = \mu - m
\end{align}

Analog für \nu\,

\begin{align}
\sum_{i,j=1}^n \gamma_{i,j}(e_i - e_j) 
& = \sum_{i,j=1}^n \gamma_{i,j} e_i - \gamma_{i,j} e_j \\
& = \mu - m - (\nu - m) \\
& = \mu - \nu
\end{align}