Statistische Informationsverarbeitung - Übung 5

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Stationäre Verteilung vom Ehrenfest Modell

Überprüfen Sie, welche Voraussetzungen aus dem Satz von der Konvergenz zur stationären Verteilung für

die Markovkette X_n\, (Anzahl der Moleküle im Behälter A) des Ehrenfest Modells gelten.

Konvergieren die Einträge von P_n\, bei n \rightarrow \infty \, nun gegen die entsprechenden Komponenten von \vec \pi\,?

In der VO haben wir zwei Dinge gezeigt und eines war nicht erfüllt.
Ich glaub das stimmt nicht.

Für X_n\, , die Anzahl der Moleküle im ersten Behälter im Ehrenfest Modell, mit Überganskern
 

k(x, y)=
\begin{cases}
  \frac{x}{N} & \mbox{fuer } x = y - 1  \\
  \frac{N - x}{N} & \mbox{fuer } x = y + 1 \\
  0 & \mbox{sonst}
\end{cases}


erfüllt \pi(x) = f_{B_{N,1/2}}(x) = 2^{-N}\binom{N}{x} \,
die detailed balance equation

 \forall x,y \in \{0, \dots, N\}: \pi(x) k(x, y) = \pi(y) k(y,x) \, 

weil

für |x-y| \neq 1 \,

k(x, y) = 0 \,

für  x = y - 1 \,

 \pi(x) k(x, x - 1) =
2^{-N} \binom{N}{x} \frac{x}{N} =
2^{-N} \binom{N}{x - 1} \frac{N - x - 1}{N} =
\pi(x - 1) k(x - 1, x)


und für x = y + 1 \,


\pi(x) k(x, x + 1) =
2^{-N} \binom{N}{x} \frac{N - x}{N} =
2^{-N} \binom{N}{x + 1} \frac{x + 1}{N} =
\pi(x + 1) k(x + 1, x).


Folglich besitzt X_n\, die stationäre Verteilung \pi\,
(die detailed balance equation ist dafür hinreichend).

Da X_n\, weiters ergodisch ist, gilt asymptotisch \lim_{n \to \infty}{P^n} = (\pi\ \pi \cdots \pi)' = \mathbf{1} \pi \,