Statistische Informationsverarbeitung - Übung 10

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Zum Challenger-data Beispiel

b

Schreiben Sie die Dichtefunktion für  \alpha \, an, wenn  e^\alpha \sim \mbox{exp}\left(\mbox{rate}=\frac 1 b\right), ist.

Verwendung des Transformationssatzes :f_Y(y) = f_X(g^-1(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right| 

wobei  X \sim f_X(x) \, und  Y = g(X) \,
 e^\alpha \sim \mbox{exp}\left(\frac 1 b\right) \,

 f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} \,
Wir haben bereits  g^{-1}(Y) = X\,, d.h.  g^{-1}(x) = e^x \,

 \frac{d \, g^{-1}(\alpha)}{d \, \alpha} = e^\alpha\,

  \begin{align}
f_{\alpha}(\alpha) 
& = \frac 1 b e^{-\cfrac 1 b \displaystyle e^\alpha} \left|e^\alpha\right| \\
& = \frac 1 b e^{\alpha - \cfrac 1 b \displaystyle e^\alpha} \\
\end{align}

c

Zeigen Sie, dass  \operatorname{E}[\alpha] = \log b - \gamma\, ist, wobei  \gamma = - \int_0^{\infty} \log x e^x \, dx\, die Euler-Mascheroni Konstante bezeichnet.

 \alpha = g(\alpha') = \log(\alpha') \,

 \begin{align}
\operatorname{E}(\alpha)
& = \operatorname{E}(g(\alpha')) \\
& = \int_0^\infty g(\alpha') f(\alpha') \, d\alpha' \\
& = \int_0^\infty \log(\alpha') \frac 1 b e^{\frac{-\alpha'}{b}} \, d\alpha' \\
& = \int_0^\infty \log(b x) \frac 1 b e^{-x} b \, dx \qquad \frac{\alpha'}{b} = x \Rightarrow \alpha' = b x, \frac{\partial \alpha'}{\partial x} = b \\
& = \int_0^\infty (\log(b) + \log(x)) e^{-x} \, dx \\
& = \int_0^\infty \log(b) e^{-x} \, dx + \int_0^\infty  \log(x) e^{-x} \, dx \\
& = \log(b) e^{-x} \cdot (-1) \Big|_0^\infty + \int_0^\infty  \log(x) e^{-x} \, dx \\
& = \log(b) - \gamma
\end{align} \,