Statistik 3 - Prüfung 4.3.2005 - Beispiel 3

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Beispiel 3

Sei y_t = a + b x_t + u_t, \, und x_t\, sei nicht zufällig, t=1,\ldots,n\,

Beispiel 3 a

Welche Eigenschaft muss x_t\, erfüllen, damit keine Multikollinearität auftritt?

Es muss mindestens ein x_i \ne x_j \, für  i \ne j, 1 \le i, j \le n\, geben.

Beispiel 3 b

Bestimmen Sie den restringierten KQ-Schätzer unter der Nebenbedingung a = 0\,.

y_t = b^{\star} x_t + u_t \,

X^{\star} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\,

b^{\star} = (X'X)^{-1} X'Y = 
\left(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \ldots & x_n \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \right)^{-1}
\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \ldots & x_n \end{pmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} =
\frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2} = \frac{\overline{x y}}{\overline{x^2}}

Beispiel 3 c

Bestimmen Sie den restringierten KQ-Schätzer unter der Nebenbedingung b = 0\,.

y_t = a^{\star} + u_t \,

X^{\star} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}\,

a^{\star} = (X'X)^{-1} X'Y = 
\left(\begin{pmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} \right)^{-1}
\begin{pmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} =
\frac{\sum_{i=1}^n y_i}{n} = \bar y