Statistik 3 - Prüfung 4.3.2005 - Beispiel 1

From StatWiki
Jump to: navigation, search

Beispiel 1

Gegeben sei das Regressionsmodell y = X \beta + u \,, wobei X \, eine nichtzufällige n \times k \, Matrix vom Rang k\, sei.

Weiters gelte \operatorname{E}(u) = 0\, und \operatorname{E}(u u') = \sigma^2 \Omega, wobei \sigma^2 > 0 \, ist und \Omega\, eine beliebige symmetrische, positiv definite Matrix ist.

Seien c \in \mathbb{R}^k \, und d \in \mathbb{R}^k \, gegebene Vektoren und setze \gamma = c'\beta\, sowie \delta = d'\beta\,.

Beispiel 1 a

Geben Sie unverzerrte Schätzer für \gamma\, und \delta\, an.

Sei \hat \beta = (X'X)^{-1} X'Y\, der gewöhnliche KQ-Schätzer.

\hat \gamma = c ' \hat \beta \,

\operatorname{E}(\hat \gamma) =  
\operatorname{E}(c ' \hat \beta) = 
c ' \operatorname{E}(\hat \beta) = 
c ' \operatorname{E}((X'X)^{-1} X'Y) = 
c ' (X'X)^{-1} X' \operatorname{E}(X \beta + u) = 
c ' (X'X)^{-1} X' X \beta + c ' (X'X)^{-1} X' \operatorname{E}(u) = 
c ' \beta \Rightarrow 
\, unverzerrt

analog für \hat \delta \,

Beispiel 1 b

Bestimmen Sie die Varianz dieser Schätzer.

\operatorname{Var}(\hat \gamma) =
\operatorname{E}[ (\hat \gamma - \operatorname{E}(\hat \gamma)) (\hat \gamma - \operatorname{E}(\hat \gamma))'] =


 = \operatorname{E}[ (\hat \gamma - \gamma) (\hat \gamma - \gamma)'] = \,

 = \operatorname{E}[ (c'\hat\beta - c'\beta) (c'\hat\beta - c'\beta)'] = \,

 = \operatorname{E}[ c' (\hat\beta - \beta) (\hat\beta'c - \beta'c)] = \,

 = \operatorname{E}[ c' (\hat\beta - \beta) (\hat\beta - \beta)'c] = \,

 = c' \operatorname{E}[ (\hat\beta - \beta) (\hat\beta - \beta)']  c = \,
\hat\beta = (X'X)^{-1} X'Y = (X'X)^{-1} X'(X \beta + u) = (X'X)^{-1} X'X \beta + (X'X)^{-1} X'u = \beta + (X'X)^{-1} X'u \,
 = c' \operatorname{E}[ (\beta + (X'X)^{-1} X'u - \beta) (\beta + (X'X)^{-1} X'u - \beta)] ' c = \,

 = c' \operatorname{E}[ ((X'X)^{-1} X'u ) ((X'X)^{-1} X'u)'] c = \,

 = c' \operatorname{E}[ (X'X)^{-1} X'uu' X (X'X)^{-1} ] c = \,

 = c' (X'X)^{-1} X' \operatorname{E}(uu') X (X'X)^{-1}  c = \,

 = c' (X'X)^{-1} X' \sigma^2 \Omega X (X'X)^{-1} c = \,

 = \sigma^2 c' (X'X)^{-1} X' \Omega X (X'X)^{-1} c\,

Beispiel 1 c

Bestimmen Sie die Kovarianz dieser Schätzer.

\operatorname{Cov}(\hat \gamma, \hat \delta) =
\operatorname{E}[ (\hat \gamma - \operatorname{E}(\hat \gamma)) (\hat \delta - \operatorname{E}(\hat \delta))'] =


 = \operatorname{E}[ (\hat \gamma - \gamma) (\hat \delta - \delta)'] = \,

 = \operatorname{E}[ (c'\hat\beta - c'\beta) (d'\hat\beta - d'\beta)'] = \,

 = \operatorname{E}[ c' (\hat\beta - \beta) (\hat\beta'd - \beta'd)] = \,

 = \operatorname{E}[ c' (\hat\beta - \beta) (\hat\beta - \beta)'d] = \,

 = c' \operatorname{E}[ (\hat\beta - \beta) (\hat\beta - \beta)']  d = \,

 = \sigma^2 c' (X'X)^{-1} X' \Omega X (X'X)^{-1} d\,