Statistik 3 - Prüfung 3.2.2006 - Beispiel 3

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Beispiel 3 - Angabe

Gegeben ist das einfache lineare Regressionsmodell y_t = a + b x_t + u_t \, mit den Standardannahmen.

Eine Stichprobe der Größe  n = 200 \, ergab die folgenden Daten:

 \sum_{t=1}^{200} y_t = n \bar y = 40 \,

 \sum_{t=1}^{200} x_t = n \bar x = -180 \,

 \sum_{t=1}^{200} (y_t - \bar y)^2 = (n-1) s_{y,y} = 32 \,

 \sum_{t=1}^{200} (x_t - \bar x)^2 = (n-1) s_{x,x} = 20 \,

 \sum_{t=1}^{200} (x_t - \bar x)(y_t - \bar y) = (n-1) s_{x,y} = -20 \,

Beispiel 3 - a

Berechnen Sie die OLS-Schätzer \hat a \, und \hat b \,.

Statistik 3 - Prüfung - Formeln#Schätzer a, b

\hat b = \frac{s_{x,y}}{s_{x,x}} = \frac{\frac{-20}{n-1}}{\frac{20}{n-1}} = -1 \,

\hat a = \bar y - \hat b \bar x = \frac{40}{200} - (-1) \frac{-180}{200} = -\frac{7}{10} \,

Beispiel 3 - b

Berechnen Sie einen Schätzer für die Varianz von \hat b \,.

Statistik 3 - Prüfung - Formeln#Eigenschaften


\hat{\sigma}_{\hat{\beta}}^2 = 
\frac{1}{n-2} \left(\frac{s_{y,y}}{s_{x,x}} - \hat{b}^2\right) = 
\frac{1}{198} \left(\frac{\frac{32}{n-1}}{\frac{20}{n-1}} - (-1)^2\right) = 
\frac{0.6}{198} \approx 0.003 \,
Lösung von Nina

\operatorname{Var}(\hat b) = 
\frac{\hat{\sigma}^2}{\sum_{t=1}^n (x_t - \bar x)^2} = \frac{\hat{\sigma}}{20} \,

\hat{\sigma}^2 = 
\frac{1}{n-k} \hat u ' \hat u =
\frac{1}{n-k} \sum_{t=1}^n \hat{u}_t^2 =  
\frac{1}{n-k} \sum_{t=1}^n (y_t - \hat a - \hat b x_t)^2 =


\bar y = \hat a + \hat b \bar x \,

 = \frac{1}{n-k} \sum_{t=1}^n (y_t - \bar y - \hat a - \hat b x_t + \hat a + \hat b \bar x)^2 =
\frac{1}{n-k} \sum_{t=1}^n (y_t - \bar y - \hat b x_t + \hat b \bar x)^2 =


 = 
\frac{1}{n-k} (\sum_{t=1}^n (y_t - \bar y)^2 - 2 \hat b \sum_{t=1}^n (x_t - \bar x)(y_t - \bar y) + \hat{b}^2 \sum_{t=1}^n (x_t - \bar x)^2 ) =
\frac{1}{198} ( 32 - 2 (-1) (-20) + (-1)^2 20) = \frac{20}{198}


\operatorname{Var}(\hat b) = \frac{ \frac{12}{12} }{ 20 } = 0.00303 \ldots \,

Beispiel 3 - c

Testen Sie die Hypothese H_0: b = 0.75 \, gegen die Alternative H_1: b \ne 0.75 \, bei einem Signifikanzniveau von 5%.

|T| > t_{1-\frac{\alpha}{2}, n-2} \Rightarrow \, verwerfen von H_0 \,

|\frac{\hat \beta - \hat{\beta}^{\star}}{\sqrt{\hat{\sigma}_{\hat{\beta}}^2}} | > t_{1-\frac{\alpha}{2}, n-2} \,

|\frac{-1 - 0.75}{0.055} | > t_{0.975, 198} \,

31.79 > 1.972017 \Rightarrow H_0 \, wird verworfen